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11 janvier 2014 6 11 /01 /janvier /2014 12:00

Ce billet suit :

Il est impossible d'écrire la fonction la fonction f définie par

  • f(x)=6x+4 si x≤1
  • f(x)=2x+8 si x≥1

sous la forme |ax+b|+cx+d.

 

Fonction de la forme -|ax+b|+cx+d

D'après la première propriété, si a>0 si g est définie sur R par g(x)=-|ax+b|+cx+d, alors

  • g(x)=-(-ax-b) + cx+d = (a+c)x+(b+d) si x ≤ -b/d
  • g(x)=-(ax+b)+cx+d=(-a+c)x+(d-b) si x≥-b/d

Si f(x) peut s'écrire sous cette forme, alors en trouvant a,b,c,d, a>0 tels que

  • a+c=6
  • -a+c=2
  • b+d=4
  • d-b=8

alors f pourra s'écrire sous cette forme. C'est une concession que je veux bien faire.

Trouvons donc a,b,c,d :

  1. les deux premières lignes donnent 2c=8 d'où c=4 puis a=2
  2. les deux lignes suivantes donnent 2d=12, d'où d=6 puis b=-2.

On a donc trouvé a,b,c,d avec a>0, donc f peut s'écrire

f(x)=-|2x-2|+4x+6

 

Fonctions continues affines en deux morceaux

Propriété. Si f est une fonction continue affine  en deux morceaux, alors il existe a,b,c,d, avec a>0 tels que

  • pour tout x, f(x)=|ax+b|+d, ou
  • pour tout x, f(x)=-|ax+b|+d

Lemme. Considérons deux systèmes d'équations :

 

Système 1 Système 2

a+c=m

-a+c=q

b+d=p

-b+d=r

-a+c=m

a+c=q

-b+d=p

b+d=r

 

 

Alors, les systèmes d'équation suivants ont toujours une et une seule solution.

Si m est distinct de q, une seule de ces solutions est telle que a>0.

 

Démonstration du lemme.

Je résouds les deux systèmes

 

 

Système 1 Système 2

a+c=m et

-a+c=q

donnent c=(m+q)/2 et a=(m-q)/2

b+d=p

-b+d=r

donnent d=(p+r)/2 et b=(p-r)/2

-a+c=m et

a+c=q

donnent c=(m+q)/2 et a=(q-m)/2

-b+d=p

b+d=r

donnent d=(p+r)/2 et b=(r-p)/2

 

Pour les deux système on a une solution. En particulier pour a vaut
(m-q)/2 dans le système 1 et (q-m)/2 dans le deuxième. Comme (m-q)/2 et (q-m)/2 sont des nombres opposés, si q et m sont distincts, a est bien strictement positif pour un seul des deux systèmes.


 

Démonstration de la propriété.

f est continue en deux morceaux signifie qu'il existe un réél γ (gamma) tel que

  • f(x)=mx+p si xγ , où m,p sont des réels
  • f(x)=qx+r si xγ, où q,r sont des réels

Cas 1. Si q=m, alors comme f est continue, on a mγ+p=mγ+r d'où p=r. Das ce cas, f est affine en un seul morceau : f(x)=mx+p = |0x+x|+mx+p=- |0x+x|+mx+p.

 

Cas 2. On peut utiliser le lemme. Un seul des deux systèmes a une solution pour laquelle a>0. Si c'est le système 1, alors d'après la partie précédente :


Si c'est le système 2, alors d'après la propriété 2

c'est à dire

 

 

La démonstration est finie. Elle nous permet de reformuler la propriété avec plus de précision et de concision. □

 

Propriété améliorée. Si f est une fonction continue affine en deux morceaux telle qu'il existe un réél γ (gamma) tel que

  • f(x)=mx+p si xγ , où m,p sont des réels
  • f(x)=qx+r si xγ, où q,r sont des réels

 

alors

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Published by Maths_Buchwald - dans Divers
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  • : Au départ, j'ai créé ce blog pour y publier des articles reliant Maths et histoire de l'art et la culture. Maintenant, il me permet d'aborder des sujets simples de la culture mathématique. J'aime parler de jeux vidéos. Vous trouverez aussi sur ce site des fiches de maths et Histoire des Arts de 2009-2010 au format *.pdf. Je ne sais pas où me mène ce blog donc il ne sera sans doute plus le même si je continue à l'alimenter dans un an. N'hésitez pas à laisser des commentaires.
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