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4 janvier 2014 6 04 /01 /janvier /2014 12:00

Ce billet fait suite à Fonction du type f(x)=|ax+b|+cx+d dans lequel nous avons vu que

 

les fonctions du type f(x)=|ax+b|+cx+d sont continues affines en deux morceaux.

 

Définition. Une fonction f définie sur R est dite continue affine en deux morceaux s'il existe un réél γ (gamma) tel que

  • f(x)=mx+p si xγ , où m,p sont des réels
  • f(x)=qx+r si xγ, où q,r sont des réels

Remarques.

  1. Cette définition sous-entend que mx+p=qx+r lorsque x=γ, c'est à dire : mγ+p=qγ+r 
  2. C'est justement pour cette raison que la fonction est qualifiée de continue.

Exemple. La fonction f définie par

  • f(x)=6x+4 si x≤1
  • f(x)=2x+8 si x≥1

est continue affine en deux morceaux car 6×1+4=10=2×1+8.

 

Voici sa représentation graphique

 

54.png

D'après le billet précédent, si f(x) peut s'écrire f(x)=|ax+b|+cx+d pour tout x, avec a>0, alors on a : 

  • (c-a)x+(d-b)=6x+4
  • (a+c)x+(b+d)=2x+8

Cela donne l'idée de prendre a,b,c,d tels que :

  • c-a=6
  • d-b=4
  • a+c=2
  • b+d=8

Résolvons ce système d'équations à 4 inconnues en deux fois :

  • c-a=6 et a+c=2 donnent en les additionannt : 2c=8 d'où c=4. En remplaçant c par 4 dans la première équation, on a 4-a=6 d'où a=-2
  • d-b=4 et b+d=8 donnent en les additionnant : 2d=12 d'où d=6. En remplaçant d par 6 dans la première équation, on a b=2.

Ceci pose un problème car on a trouvé a=-2, et cela contredit que a>0.

 

Donc la fonction f donnée en exemple ne peut pas s'écrire f(x)=|ax+b|+cx+d avec a>0.

 

Peut-on écrire alors avoir f(x)=|a'x+b'|+c'x+d' avec a'<0 ? La réponse est non. En effet,

|a'x+b'|=|-(a'x+b')|=|-a'x-b'|. Cela montre qu'il suffit de considérer les fonctions f telles que f(x)=|ax+b|+cx+d avec a>0.

 

Donc notre fonction contine et affine par morceaux ne peut pas s'écrire f(x)=|ax+b|+cx+d.

 

Quelle déception...

 

Quitte à faire un compromis, qu'est-ce qui pourrait nous satisfaire ?

 

A suivre....

 


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Published by Maths_Buchwald - dans Divers
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  • : Au départ, j'ai créé ce blog pour y publier des articles reliant Maths et histoire de l'art et la culture. Maintenant, il me permet d'aborder des sujets simples de la culture mathématique. J'aime parler de jeux vidéos. Vous trouverez aussi sur ce site des fiches de maths et Histoire des Arts de 2009-2010 au format *.pdf. Je ne sais pas où me mène ce blog donc il ne sera sans doute plus le même si je continue à l'alimenter dans un an. N'hésitez pas à laisser des commentaires.
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