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28 décembre 2013 6 28 /12 /décembre /2013 12:00

Pour la définition et notation | | "valeur absolue", on pourra se référer à Valeur absolue

 

Fonction du type g(x)=|ax+b|

Exemple. g(x)=|2x-5|

Par définition de la valeur absolue :

  • si (2x-5)<0, g(x)=-(2x-5)=-2x+5 et
  • si  (2x-5)>0, alors g(x)=-(2x-5), tandis que
  • si 2x-5=0, g(x)=0.


2x-5=0 ⟺ 2x=5 ⟺ x=2,5
Comme la fonction affine x ⟼ 2x-5 est croissante (son coefficient directeur est 2>0), on en déduit aussi que

  • 2x-5<0 ⟺ x<2,5
  • 2x-5>0 ⟺ x>2,5


On peut donc en déduire que

  • g(x)=-2x+5 si x<2,5
  • g(2,5)=0
  • g(x)= 2x-5 si x>2,5

Ci-dessous une représentation graphique de g


 

Propriété.    Si a et b sont des réels, aétant non nul,  alors en notant g(x)=|ax+b| :

  • Si a>0 :
    • g(x)=-ax-b si x<-b/a
    • g(-b/a)=0
    • g(x)=ax+b si x>-b/a
  • Si a<0 :
    • g(x)=ax+b si x<-b/a
    • g(-b/a)=0
    • g(x)=-ax-b si x>-b/a

Démonstration. On procède comme dans l'exemple :

ax+b=0⟺ax=-b⟺x=-b/a


  • Si a>0 : x  ⟼ ax+b est strictement croissante
    • g(x)=-ax-b si x<-b/a
    • g(-b/a)=0
    • g(x)=ax+b si x>-b/a
  • Si a<0 : x  ⟼ ax+b est strictement décroissante
    • g(x)=ax+b si x<-b/a
    • g(-b/a)=0
    • g(x)=-ax-b si x>-b/a

FIN de la Preuve.

 

Remarques.

  1. g est donc définie par 2 formules, une pour x avant -b/a et une pour x après -b/a, mais en remplaçant x par -b/a, dans ces deux formules, on obtient 0. 
  2. Dans le cas où a=0 : g(x)=|b| définit est une fonction g constante.

 

Fonction du type f(x)=|ax+b|+cx+d

En appliquant ce qui précède, on a la propriété suivante

 

Propriété. Si a,b,c,d sont des réels avec a différent de 0, alors notons f la fonction définie par f(x)=

|ax+b|+cx+d : 

  • Si a>0 :
    • g(x)=(c-a)x+(d-b) si x<-b/a
    • g(-b/a)=-bc/a + d
    • g(x)=(c+a)x+(d+b) si x>-b/a
  • Si a<0 :
    • g(x)= (c+a)x+(d+b) si x<-b/a
    • g(-b/a)=-bc/a + d
    • g(x)=(c-a)x+(d-b) si x>-b/a

Exemple.  Soit f la fonction définie par f(x)=|-5x+8|-2x+1.

 

Alors -b/a=-8/-5=1,6 et

  • si x<1,6 : f(x)=(-2-5)x+(1+8)=-7x+9
  • si x=1,6 : f(x)=-2×1,6+1=-3,2+1=-2,2
  • si x>1,6 : f(x)=(-2+5)x+(1-8)=3x-7

Voici une repésentation graphique :

Remarques :

  1. La fonction f est affine par morceaux : les deux "morceaux" de f sont des fonctions affines : x⟼ (c-a)x+(d-b) et x⟼ (c-a)x+(d-b)
  2. Ces deux morceaux se recollent parfaitement, puisque si'lon remplace x par -b/a dans ces deux formules affines, on obtient le même nombre -bc/a + d. f est continue.

Question. Toute fonction affine par morceau, en deux morceaux, continue, peut-elle être obtenue de la sorte ? Autrment dit, peut-on l'écrire f(x)=|ax+b|+cx+d pour des nombres a,b,c,d à déterminer ?

La réponse prochainement....

 

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Published by Mathotak' - dans Divers
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  • : Au départ, j'ai créé ce blog pour y publier des articles reliant Maths et histoire de l'art et la culture. Maintenant, il me permet d'aborder des sujets simples de la culture mathématique. J'aime parler de jeux vidéos. Vous trouverez aussi sur ce site des fiches de maths et Histoire des Arts de 2009-2010 au format *.pdf. Je ne sais pas où me mène ce blog donc il ne sera sans doute plus le même si je continue à l'alimenter dans un an. N'hésitez pas à laisser des commentaires.
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