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26 janvier 2011 3 26 /01 /janvier /2011 12:00
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fc/Escalier_phare_eckmuhl_haut.jpg/800px-Escalier_phare_eckmuhl_haut.jpg

Voir les articles précédents :

 

  Je vais déterminer de combien de façon monter un escalier de 100 marches.

 

Nombre de façons de monter 100 marches

 

Il y a deux façons de commencer :

  • On commence par une marche. Il en reste 99, nous devons connaître le nombre de façons de monter 99 marches.
  • ou bien on commence par deux marches. Il en reste 98, nous devons connaître le nombre de façons de monter 99 marches.

Ainsi pour savoir de combien de façons on peut monter 100 marches, je dois connaître le nombre de façons d'en monter 99 et le nombre de façon d'en monter 98. (1 addition)

 

De même pour savoir de combien de façons on peut monter 99 marches, je dois connaître le nombre de façons d'en monter 98 et le nombre de façon d'en monter 97. (1 addition)

 

De même pour savoir de combien de façons on peut monter 98 marches, je dois connaître le noombre de façons d'en monter 97 et le nombre de façon d'en monter 96. (1 addition)

 

etc.....

 

De même pour savoir de combien de façons on peut monter 4 marches, je dois connaître le nombre de façons d'en monter 3 et le nombre de façon d'en monter 2. (1 addition)

 

De même pour savoir de combien de façons on peut monter 3 marches, je dois connaître le nombre de façons d'en monter 2 et le nombre de façon d'en monter une. (1 addition)

 

98 calculs sont nécessaires pour trouver le bon nombre de façons de monter 100 marches (pourquoi ?) . Mais nous en avons déjà fait une partie puisque nous connaissons le nombre de façons d'en monter 10. Cependant, il me semble que de tels calculs aient déjà été faits quelque part sur ce blog.

 

En disposant les nombres de façons de monter les marches dans l'ordre, on obtient :

1-1-2-3-5-8-13...

Cela ressemble à la suite de Fibonacci. Les deux premiers termes sont 1 et 1 et les termes suivants se calculent en additionnant deux termes consécutifs. C'est donc bien la suite de Fibonacci.

 

Comme l'esacalier de 2 marches correspond au troisième terme de la suite, ce que l'on cherche correspond au 101 terme de la suite de Fibonacci. Nous ne connaissons pas la réponse mais le programme de l'article Suite de Fibonacci et algorithme nous donnera la réponse. (Voir programme Python ci-contre)

 fibo101-copie-1.jpg

Le résultat donné par le programme est


573 147 844 013 817 084 101.


C'est le nombre de façon de monter 100 marches.

 

Pour monter 500 marches, on dénombre

225 591 516 161 936 330 872 512 695 036 072 072 046 011 324 913 758 190 588 638 866 418 474 627 738 686 883 405 015 987 052 796 968 498 626

façons d'y parvenir.

 

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Published by Maths_Buchwald - dans Solides
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  • : Au départ, j'ai créé ce blog pour y publier des articles reliant Maths et histoire de l'art et la culture. Maintenant, il me permet d'aborder des sujets simples de la culture mathématique. J'aime parler de jeux vidéos. Vous trouverez aussi sur ce site des fiches de maths et Histoire des Arts de 2009-2010 au format *.pdf. Je ne sais pas où me mène ce blog donc il ne sera sans doute plus le même si je continue à l'alimenter dans un an. N'hésitez pas à laisser des commentaires.
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