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7 janvier 2011 5 07 /01 /janvier /2011 12:00

Je vais essayer de répondre à la question posée dans Escaliers (Rèz de chaussée) :

 

De combien de façons puis-je monter un escalier de 10 marches ?

 

Je rappelle que je peux monter les marches par une ou par deux.

 

Dans Escalier (2ème étage), j'avais énuméré toutes les possibilité de gravir cet escalier en utilisant un codage par des chiffres et en rangeant ces codages dans l'ordre lexicographique : 

 

Escalier de 4 marches :

  1. 1-1-1-1
  2. 1-1-2
  3. 1-2-1
  4. 2-1-1
  5. 2-2

En utilisant cet ordre lexicograohique, je suis certain de ne rien oublier. La seule chose à vérifier est que la somme des chiffres soit égale au noombre de marches à gravir, ni plus ni moins.

 

Avant de m'attaque à un escalier de 10 marches je vais commencer par ajouter une marche.

 

Escalier de 5 marches :

  1. 1-1-1-1-1
  2. 1-1-1-2
  3. 1-1-2-1
  4. 1-2-1-1
  5. 1-2-2
  6. 2-1-1-1
  7. 2-1-2
  8. 2-2-1

Il y a 8 façons de monter un escalier de 5 marches. Donc pour un escalier de 10 marches, il y a 16 façons.

 

Je vais vérifier que mon résultat est bon. Avec un escalier de 6 marches :

 

Escalier de 6 marches :

  1. 1-1-1-1-1-1
  2. 1-1-1-1-2
  3. 1-1-1-2-1
  4. 1-1-2-1-1
  5. 1-1-2-2
  6. 1-2-1-1-1
  7. 1-2-1-2
  8. 1-2-2-1
  9. 2-1-1-1-1
  10. 2-1-1-2
  11. 2-1-2-1
  12. 2-2-1-1
  13. 2-2-2

Ici on trouve 13 façons pour 6 marches. Je me rends compte que mon raisonnement risque d'échouer. En effet pour 3 marches, 2 façons sont possibles, mais pour 6 marches, il y a en déjà 13. Il n'y a donc pas de proportionnalité entre le nombre de marches et le nombre de façons de les monter. J'aurai pu m'en douter avant...

 

J'essaie pour un escalier de 7 marches.

 

Escalier de 7 marches :

  1. 1-1-1-1-1-1-1
  2. 1-1-1-1-1-2
  3. 1-1-1-1-2-1
  4. 1-1-1-2-1-1
  5. 1-1-1-2-2
  6. 1-1-2-1-1-1
  7. 1-1-2-1-2
  8. 1-1-2-2-1
  9. 1-2-1-1-1-1
  10. 1-2-1-1-2
  11. 1-2-1-2-1
  12. 1-2-2-1-1
  13. 1-2-2-2
  14. 2-1-1-1-1-1
  15. 2-1-1-1-2
  16. 2-1-1-2-1
  17. 2-1-2-1-1
  18. 2-1-2-2
  19. 2-2-1-1-1
  20. 2-2-1-2
  21. 2-2-2-1

Pour 7 marches, cela fait 21 façons. Cela m'a pris du temps pour tout énumérer (en fait non j'ai triché .... ).

 

En comptant 20 secondes par codes, cela m'a pris 20×21=420 s., c'est à dire 7 minutes, oui j'ai pris mon temps.  J'avoue, je mens peut-être....

 

En tout cas je n'ai pas envie d'énumérer toutes les façons de monter 8, puis 9 puis 10 marches. Heureusement j'ai trouvé une méthode plus astucieuse, je ne suis pas un ordinateur !

 

 

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Published by Maths_Buchwald - dans Divers
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  • : Au départ, j'ai créé ce blog pour y publier des articles reliant Maths et histoire de l'art et la culture. Maintenant, il me permet d'aborder des sujets simples de la culture mathématique. J'aime parler de jeux vidéos. Vous trouverez aussi sur ce site des fiches de maths et Histoire des Arts de 2009-2010 au format *.pdf. Je ne sais pas où me mène ce blog donc il ne sera sans doute plus le même si je continue à l'alimenter dans un an. N'hésitez pas à laisser des commentaires.
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