Mardi 21 juin 2011 2 21 /06 /Juin /2011 12:00

Cet article suit Comment compter jusqu'à l'infini ?

 

Un ensemble infini peut être mis en bijection avec l'ensemble N des entiers naturels (voir ici). Dans ce cas on dit que cet ensemble est dénombrable.

 

On peut dénombrer ses éléments, c'est à dire leur donner un numéro. Je donne des exemples ci-dessous :

 

Exemple 1 : Les nombres pairs

 

L'ensemble des nombres pairs Pair que je noterai aussi 2N est dénombrable, en effet on peut dénombrer ses éléments :

0,2,4,6,8,10,12, .........., etc.

Le nombre 0 porte le numéro 0

Le nombre 2 porte le numéro 1

.......

Le nombre 12 porte le numéro 6

.......

Plus généralement, le nombre 2n porte le numéro n

 

Exemple 2 : Les nombres relatifs

 

L'ensemble des nombres relatifs, noté Z est lui ausi en bijection avec l'ensemble N : ses éléments sont

.......-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,......

Pour établir une bijection, l'idée est de prendre un nombre à droite de 0 puis un nombre à guche de 0 et re recommencer en s'éloignant de 0 de plus en plus.

 

Le nombre 0 porte le numéro 0

Le nombre 1 porte le numéro 1

Le nombre -1 porte le numéro 2

Le nombre 2 porte le numéro 3

Le nombre -2 porte le numéro 4

Le nombre 3 porte le numéro 5

Le nombre -3 porte le numéro 6

............ et ainsi de suite

Le nombre n (si n positif) porte le numéro 2n-1

Le nombre -m (si -m est négatif) porte le numéro 2m

 

La bijection peut-être définie rigoureusement comme suit :

f : N -----> Z est la fonction définie par

f(0)=0  
f(x)=(x+1)/2 si x est impair
f(x)=-x/2 si x est pair

 

 Je vérifie que f est une bijection : 

  • injectivité :
    • Si x est différent de 0, (x+1)/2 et -x/2 sont diférents de 0.
    • sinon si x est pair f(x) est positif, et si x est impair f(x) est négatif. Donc les seules possibilités pour f(x1) d'être égal à f(x2) est pour x1 et x2 pairs ou pour x1 et x2 impairs.
    • Si x1 et x2 sont pairs et que (x1+1)/2 = (x2+1)/2, alors on a  x1+1  =  x2+1 puis x1 =  x2
    • Si x1 et x2 sont impairs et que -x1/2= -x2/2, on a aussi  x1 =  x2.

f est donc injective, pour un nombre de Z il y a au maximum un antécédent dans N. Si f est injective, on dit que c'est une injection.

  • surjectivité : Prenons un élément de Z nommé y :
    • Si y est 0, 0 est l'image de 0 car f(0)=0
    • Si y est positif, je choisis x=2y-1. f(x)=(x+1)/2=(2y-1+1)/2=2y/2=y, donc y possède un antécédent.
    • Si y est négatif, je choisis x=-2y. f(x)=-x/2=-(-2y)/2=y, donc x est un antécédent de y.

f est donc surjective, pour tout nombre de Z il y a au moins un antécédent dans N. Si f est surjective, on dit que c'est une surjection.

 

f est une application bijective, c'est une bijection (injection+surjection).

 

Ainsi, on voit qu'il y a autant d'éléments dans Z et dans N. A première vue, il semblait pourtant qu'il y avait deux fois plus d'éléments dans Z que dans N.

 

Exemple 3 : Les nombres rationnels

 

L'ensemble Q possède beaucoup d'éléments, en effet entre deux entiers, on peut toujours placer un nombre rationnel (pourquoi ?). De plus, entre deux rationnels, on peut placer une infinité de rationnels entre deux nombres, aussi près soient-ils (pourquoi ?) ? Cet ensemble semble être partout, est-il dénombrable ? 

 

A suivre dans Q est dénombrable

Par Maths_Buchwald - Publié dans : Nombres - Communauté : Mathématiques
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