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17 avril 2011 7 17 /04 /avril /2011 12:00

Cet article fait suite à Base 4

 

En base quatre nous utilisons quatre chiffrres : 0,1,2,3.

 

Premier exemple :

 

Si le nombre dépasse quatre unités, il s'écrira avec au moins deux chiffres. Par exemple le nombre douze s'écrira et composé de trois fois  quatre unités (3 × quatre = douze). On écrira douze = 30 en base 4. Pour ne pas confondre l'écriture en base 10 (que nous utilisaons habituellement) et l'écriture en base 4, on écrit :

12=(30)4

 

Cela signifie que 12 (en base 10) s'écrit 30 en base 4.

 

Deuxième exemple :

 

Si en suite, le nombre que l'on veut écrire dépasse 4 fois 4 unités, par exemple 29. Dans ce cas, il faudra utiliser au moins trois chiffres. Pour trouver ces chiffres, il faut trouver le nombres de 4 fois 4 unités qu'il contient. Pour cela, on effectuera  une division (euclidienne) de 29.

 

Il y  a 7 paquets de 4 dans 29 : 29 = 7×4 + 1. Il reste une unité.

 

IMGP3999.JPG

 

Effectuant la division de 7 par 4 : 7 = 1×4 + 3, on trouve :

  • qu'il y a 1 paquet de 4×4
  • qu'il reste 3 paquet de 4

Pour résumer : 29 = 7×4 + 1 = 1× (4×4) + 3 fois 4 + 1 = 1× 4²+ 3× 4 + 1

Le nombre 29 s'écrira : 131 en base 4 : 29=(131)4

 

Troisième exemple :

 

Ainsi pour trouver les chiffres en base 4 d'un nombre donné, on fait des divisions par 4 successives. Ci-dessous, attaquons-nous au nombre 5 678 :

 

IMGP4000.JPG

  • 5 678 = 1 419 × 4 + 2
  • 1419 = 354 × 4 + 3
  • 354 = 88 × 4 + 2
  • 88 = 22 × 4 + 0
  • 22 = 5 × 4 + 2
  • 5 = 1 × 4 + 1

Donc 5 678 = (1120232)4

Il suffit de noter les restes de la droite vers la gauche dans l'ordre des divisions et de mettre le dernier quotient en première position. Pour chaque division on divise par 4 le quotient de la division précédente sauf si ce quotient est déjà 0,1,2 ou 3. 

 

Vérification : On doit avoir

5 678 =1×46 + 1×45 + 2 × 44 + 0 × 43 + 2 × 42 + 3 ×4 + 2.

 

1×46 + 1×45 + 2 × 44 + 0 × 43 + 2 × 42 + 3 ×4 + 2 = 1×1 024+ 2 × 256 + 0  + 2 × 16 + 3 ×4  + 2

1×46 + 1×45 + 2 × 44 + 0 × 43 + 2 × 42 + 3 ×4 + 2 = 4096+1 024 + 512 + 32 + 12 + 2 = 5678

 

Les curieux pourront aussi regarder 101010, la réponse à la vie à l'univers et à tout qui parle un peu de la base 2 sans parler de division euclidienne.

 

Question à laquelle il faut répondre : Comment écrit-on un nombre qui n'est pas entier en base 4 ?

 

Réponse future et autres articles concernant la base 4 : cliquer ici.

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Published by Maths_Buchwald - dans Nombres
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commentaires

Marcella Asgard Bigvai 10/11/2017 21:45

je pense aussi que ce que vous montrez la c'est juste une conversion entre un nombre a base 10 et celui de base 4 il y a d'autre choses plus puissantes encore .

Marcella Asgard Bigvai 10/11/2017 21:41

Slt je suis Asgard j 'ai travaillé sur un projet comme le votre, les nombres a base 4 ,je voudrais qu'on associe nos travaux a fin d'apporter une meilleur choses au monde entier.Veuillez me contacter afin d'en discuter si vous etes interesé.

Marcella Asgard Bigvai 10/11/2017 21:39

Slt je suis Asgard j 'ai travaillé sur un projet comme le votre, les nombres a base 4 ,je voudrais qu'on aussi nos travaux a fin d'apporter une meilleur choses au monde entier.Veuillez me contacter afin d'en discuter si vous etes interesé.

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