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1 juin 2011 3 01 /06 /juin /2011 12:00

Si l'on peut diviser un entier par un autre entier, obtenant un résultat entier, on dit que le premier des entier est divisible par les deux autres. Par exemple, 35:5=7. 5 et 7 sont des diviseur de 5.

 

Il revient au même de dire que 35=7×5. Comme 7 et 5 sont tous les deux entiers, ce sont des diviseurs de 35. Cette formulation de la divisibilité est mieux car elle n'oblige pas à faire une division.

 

Définition. On dit qu'un nombre entier a est divisible par un nombre entier b s'il existe un nombre entier q tel que a=b×q=bq.

 

Comme q et b ont le même rôle, a est aussi divisible par q.

On dit que a est un multiple de b et de q.

On dit que b et q sont des diviseurs de a.

 

Lorsque a est positif, les diviseurs positifs de a ne sont pas plus grand que a.

 

Quels sont les diviseurs de 45 ?

45=9×5=3×15 donc 3, 9, 5 et 15 sont des diviseurs de 45. 1 et 45 sont aussi des diviseurs de 45 car 45=1×45.

 

Remarque : Le nombre 1 divise tous les entiers. Chaque entier est divisible par lui-même.

 

Lorsqu'un entier n'est divisible que par 1 et lui-même, on dit que c'est un nombre  premier .

 

45 possède-t-il d'autre diviseurs que 1,3,5,9,15 et 45 ?

 

  • 2 n'est pas un diviseur de 45 car 45 est impair
  • 4 n'est pas un diviseur de 45 car 4=2×2 donc si 45 était divisible par 4, il le serait aussi par 2. De même 45 n'est divisible par aucun nombre pair : 0,2,4,6,.....,42,44
  • 7 n'est pas un diviseur de 45 : 7×6=42 < 45 <7×7=49
  • 10 n'est pas un diviseur de 45 car son chiffre des unités est 5
  • 11 n'est pas un diviseur de 45 car 11×4=44 et 11×5=55
  • 13 n'est pas un diviseur de 45 car 13×3=39 et 13×4=52
  • 17 n'est pas un diviseur de 45 car 17×2=34 et 17×3=51
  • 19 n'est pas un diviseur de 45 car 19×2=38 et 19×3=57
  • 21 n'est pas un diviseur de 45 car 21×2=42 et 21×3=62
  • 23 n'est pas un diviseur de 45 car 23×2=46
  • les nombres plus grand que 23 (je ne parle pas de 45 lui-même) ne peuvent pas diviser 45 car leur double est déjà plus grand que 45

 

Remarque : En procédant de la sorte pour chercher les diviseurs posotifs d'un nombre positif, il est inutile d'aller plus loin que la moitié du nombre. En effet le double d'un nombre plus grand que cette moitié serait plus grand que le nombre dont on cherche les diviseurs.

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Published by Maths_Buchwald - dans Nombres
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  • : Au départ, j'ai créé ce blog pour y publier des articles reliant Maths et histoire de l'art et la culture. Maintenant, il me permet d'aborder des sujets simples de la culture mathématique. J'aime parler de jeux vidéos. Vous trouverez aussi sur ce site des fiches de maths et Histoire des Arts de 2009-2010 au format *.pdf. Je ne sais pas où me mène ce blog donc il ne sera sans doute plus le même si je continue à l'alimenter dans un an. N'hésitez pas à laisser des commentaires.
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