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10 janvier 2014 5 10 /01 /janvier /2014 12:00

Mesurer l'écartement entre deux demi-droites droites

Ci-dessous deux demi-droites ayant la même origine

 

 

 

  45.png

On voudrait pouvoir mesurer leur écartement. On peut alors tracer un cercle comme ceci et mesurer la longueur de l'arc de cercle entre les deux demi-droites. Mais lequel choisir ?

 

46.png

La mesure de l'arc rose ou celle de l'arc vert ? Avec un rapporteur comme celui ci-dessous, c'est la longueur de l'arc rose que l'on va mesurer.

Goniometro

En effet, l'arc rose est plus court qu'un demi-cercle de même rayon, tandis que l'arc vert est plus grand (nécessairement) qu'un demi-cercle de mâme rayon. Le rapporteur lui a une forme de demi-disque (si on ne compte pas la partie inférieure située sous le trait horizontal).

 

D'autres rapporteurs permettent des mesures d'angles plus grands comme celui ci-dessous :

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f3/Protractor_katomierz.jpg/581px-Protractor_katomierz.jpg


Mais au fait, qu'est-ce qu'un angle ?

Angle orienté

 

Pour parler d'angle, nous devons tout d'abord parler d'orientation. Cela signifie que nous devons définir une façon de tourner qui sera la façon positive, appelé sens direct et une façon de tourner qui sera négative qui sera qualifiée de sens indirecte.

 

Orientation

 

Ce choix est arbitraire, on a décidé que le sens inverse des aiguilles d'une montre serait le sens direct. 

47-copie-1.png

48.png
Sens direct Sens indirect

 

Cercle unité

Avant de mesurer les angles, mesurons les arcs de cercle. Palçons nous dans un repère orthonormé d'origine O. Regardons le cercle unité, de rayon 1 et de centre O. 

 

La formule

Périmètre=2π × Rayon


dit que le périmètre du cercle est 2π.


La mesure d'un arc de cercle sera donc comprise entre 0 et 2π si l'on parcourt l'arc dans le sens direct, et comprise entre -2π et 0 si on le parcourt dans le sens indirect.

 

49.png

 

Sur la figure ci-dessus, l'angle en bleu est compris entre 0 et  π/2. Il est noté :

 

Quelques exemples :

51.png  52.png
50   53.png



Remarques. 

  • Si l'on dépasse un tour dans le sens direct, alors il sera supérieur à 2π, si l'on dépasse un trou dans le sens indirect, il sera inférieur à -2π. Je reviendrai sur ce sujet une autre fois.
  • Avec façon de mesurer les angles, l'unité de mesure est le radian. Les rapporteurs, en général mesurent en degrés. Cependant la conversion angles degré est facile, puisque de manière proportionnelle : π rad = 180 °


Angle orienté

Revenons à un angle entre deux demi-droites

Pour mesurer cet angle, on se place dans un repère orthonormé orienté positivement dans le sens direct. La mesure principale de l'angle


 

est définie comme la longueur de l'arc de cercle joignant B à A de centre O et de rayon 1 dans le sens direct  (O est l'origine commune des demi-droites).

 

Remarques.

  • En ajoutant 2π à cette mesure, on a la mesure de l'angle obtenu en faisant faire un tour complet à la demi-droite [OA) (dans le sens direct).
  • En ajoutant kπ à cette mesure, on a , plus généralement, la mesure de l'angle obtenu en faisant faire k tours complets à la demi-droite [OA) (k est un entier; s'il est positif, on fait k tours dans le sens direct, s'il est négatif ces tours se font dans le sens indirect) .

 

 

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Published by Maths_Buchwald - dans Divers
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  • : Au départ, j'ai créé ce blog pour y publier des articles reliant Maths et histoire de l'art et la culture. Maintenant, il me permet d'aborder des sujets simples de la culture mathématique. J'aime parler de jeux vidéos. Vous trouverez aussi sur ce site des fiches de maths et Histoire des Arts de 2009-2010 au format *.pdf. Je ne sais pas où me mène ce blog donc il ne sera sans doute plus le même si je continue à l'alimenter dans un an. N'hésitez pas à laisser des commentaires.
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