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4 juin 2011 6 04 /06 /juin /2011 12:00

A quoi servent les nombres premiers ? Dans un premier temps, je dirai qu'ils servent à fabriquer tous les nombres entiers. En effet, tout les nombres entiers positifs sont produits de nombres premiers.

 

Exemple

 

Le nombre 525 est divisible par 5 car 525=5×105. 105 est divisible par 5 aussi : 105=5×21. 21 est un multiple de 3 : 21=3×7. On peut donc écrire :

525=5×105=5×5×21=5×5×7×3

Les nombres 5, 7 et 3 sont des nombres premiers.

 

Propriété

 

Si un nombre est entier naturel au moins égal à 2, alors il est produit de nombres premiers.

 

Un tel produit est appelé décomposition en facteurs premiers.

 

Remarques :

  • Dans cette propriété, je ne dis pas que la décomposition est la seule possible, déjà
    525= 5×5×7×3=5×7×3×5=7×3×5×5=3×5×7×5=......
    comme on le voit en changeant l'ordre des facteurs (celui-ci n'ayant pas d'importance pour un produit, on dit que les facteurs sont commutatifs).
  • Par contre, les facteurs qui interiennent, dans l'exemple : 5 (à 2 reprises), 3 et 7 sont les seuls ; cette propriété sera vue un autre jour. C'est ce que l'on appelle l'unicité de la décomposition en factueur premiers (à l'ordre des facteurs près).
  • Le nombre 1 n'est pas premier et sa seule décomposotion est 1=1. Pour inclure 1 dans la propriété, je préfère dire que le produit de zéro facteur est 1. Ainsi 1 est le produit de zéro facteur premier.
  • Les nombres premiers sont les produits d'un seul facteur premier : eux-même !

Démonstration dialoguée.

 

«Je suis sûr que cette propriété c'est n'importe quoi !

-C'est à dire ?

-Ben, que, je suis sûr qu'en cherchant bien, on peut trouver au moins un nombre entier qui ne peut pas se décomposer en nombres premiers

-Ah ? Tu crois qu'il y en a combien des nombres comme çà ?

-Je ne sais pas, si çà se trouve il y en a une infinité ...

-Peut-être ... Disons que tu as raison, quel est le premier de ces nombres indécomposables en facteurs premiers ?

-Le premier ? Tu veux dire le plus petit, c'est çà ?

-Oui le plus petit, le premier en commençant de 1, il y en a forcément un.

-Je ne sais pas ... on a qu'à l'appeler n .

-D'accord. Tu crois que çà peut être un nombre premier ton nombre n ?

-Euh ... Non ! C'est impossible parce que sinon, ce serait le produit de un nombre premier : lui-même !

-Yep, c'est vrai, donc comme il n'est pas premier il est divisible par au moins deux nombres plus petits que lui

-Forcément !

-Mais c'est bizarre, parce que les deux nombres plus petits qui le divisent eux, ils sont décomposables en facteurs premiers, tu vois !

-Pourquoi ?

-Parce que n est le plus petit nombre indécomposable en facteurs premiers et que les 2 facteurs en questions sont plus petits que lui ...

-Ok ... Mais pourquoi c'est bizarre ?

-Parce que ces deux nombres là, si les décompose et que fais le produit des facteurs premiers réunis, je retrouve le nombre de départ, c'est çà qui est chelou. 

-T'es pas obligé de dire chelou, j'ai compris tu sais, çà veut dire que çà contredit ce que je pensais au départ, je m'étais trompé c'est tout. En fait tous les nombres entiers naturels sont décomposables en facteurs premiers.

-Voilàà, c'est çà ! Chanmééé

-C'est bon Socrate, n'en fais pas trop quand même ...»

 

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Published by Maths_Buchwald - dans Nombres
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  • : Au départ, j'ai créé ce blog pour y publier des articles reliant Maths et histoire de l'art et la culture. Maintenant, il me permet d'aborder des sujets simples de la culture mathématique. J'aime parler de jeux vidéos. Vous trouverez aussi sur ce site des fiches de maths et Histoire des Arts de 2009-2010 au format *.pdf. Je ne sais pas où me mène ce blog donc il ne sera sans doute plus le même si je continue à l'alimenter dans un an. N'hésitez pas à laisser des commentaires.
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