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18 avril 2011 1 18 /04 /avril /2011 12:00

Précédemment :

Dans la suite de Conway

 

Comment savoir si un nombre est dans la suite de Conway ?

 

Nous avaons vu que l'on pouvait remonter dans la suite de Conway.

Si l'on part d'un nombre de la suite de Conway, et que l'on remonte, on peut encore remonte et remonter ..... jusqu'à arriver au premier terme c'est à dire 1.

Si en remontant, on tombe sur un nombre dont on sait qu'il n'est pas dans la suite de Conway : on a forcément fait une erreur :

  • soit on est mal remonté
  • soit le nombre à partir duquel on est remonté n'était en fait pas dans la suite de Conway.

Cela nous permettra alors de déterminer si un nombre pris au hasard est un terme de cette suite.

 

Par exemple prenons le nombre 1231 et remontons :

1231 : (12)(31) -> 2111 : (21)(11) -> 111. Ce nombre ne peut pas être dans la suite de Conway, nous pouvons le voir de deux façons : 

  1. Il est composé d'une quantité impaire de chiffre (contredisant ainsi la remarque de Remonter dans la suite de Conway) cela empêchant de remonter à un éventuel terme précédent.
  2. Si 111 est dans la suite de Conway, alors le terme suivant est nécessairement 31. Ce nombre ne fait pas partie de la suite de Conway si l'on accepte le fait que le nombre de chiffre ne diminue jamais lorsque l'on passe au terme suivant ; cela reste à démontrer.

Ainsi ce nombre n'est pas dans la suite de Conway.

 

Pour cette démonstration, nous avons utilisé la propriété suivante :

 

Proposition 1. Si un nombre est dans la suite de Conway et que ce n'est pas le 1er terme 1, alors c'est un entier composé d'un nombre pair de chiffre.

 

Plus précisément, c'est la contraposée de cette propriété dont je me suis servi :

 

Contraposée 1. Si un nombre entier n'a pas une quantité paire de chiffres, alors il ne fait pas partie de la suite de Conway.

 

Un peu de logique

 

Lorsqu'une proposition est vraie, la contraposée l'est toujours. C'est une des règles les plus utiles de la logique, elle sert très souvent dans les raisonnements mathématiques. 

 

Ici la proposition 1 est une implication : Si (A) est vraie, alors (B) est vraie.

  • (A) "un nombre est dans la suite de Conway et que ce n'est pas le 1er terme 1" : est une propriété mathématique (elle est vraie par exemple pour le nombre 11 est elle est fausse pour le nombre 4,5). Une propriété est soit vraie soit fausse.
  • (B) "c'est un entier composé d'un nombre pair de chiffre" : est une autre propriété mathématique devant également être vraie ou fausse.

Une propriété ne pouvant être à la fois vraie et fausse, lorsque la deuxième propriété est fausse, la première l'est forcément. Car si elle était vraie, la seconde serait à la fois fausse et vraie. Ceci nous donne le mode d'emploi pour transformer une implication en sa contraposée.

 

Comment transformer une propriété d'implication en sa contraposée ?

 

Implication : Si (A) alors (B)

Implication réciproque : Si (Non B) alors (Non A).

 

 

Exemple :

Proposition  Si nous sommes en novembre, alors c'est l'automne.

 

(A) : "nous sommes en novembre"

(B) : "c'est l'automne"

 

(non B) : "ce n'est pas l'automne" [C'est le contraire de la proposition (B)]

(non A) : "nous ne sommes pas en novembre"

 

Contraposée de la proposition Si ce n'est pas l'automne, alors nous ne sommes pas en novembre.

 

 

 

Quelques questions

  • Si la contraposée d'une proposition n'est pas vrai, la propriété est-elle fausse ?
  • Si la contraposée d'une proposition est vraie, la propriété est-elle vraie ?

A suivre ....

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Published by Maths_Buchwald - dans Nombres
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  • : Au départ, j'ai créé ce blog pour y publier des articles reliant Maths et histoire de l'art et la culture. Maintenant, il me permet d'aborder des sujets simples de la culture mathématique. J'aime parler de jeux vidéos. Vous trouverez aussi sur ce site des fiches de maths et Histoire des Arts de 2009-2010 au format *.pdf. Je ne sais pas où me mène ce blog donc il ne sera sans doute plus le même si je continue à l'alimenter dans un an. N'hésitez pas à laisser des commentaires.
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