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5 mai 2011 4 05 /05 /mai /2011 12:00

Comment tronquer un cube de façon à obtenir un solide composé de faces étant des polygones réguliers superposables lorsque ceux-ci sont de même type ?

Hexahedron

Comment découper le cube de la sorte ?

 

Les 6 faces d'un cube sont des carrés : en tronquant un cube, on otbient donc des octogone à la place des carrés. Je voudrai obtenir des octogones réguliers.

 

carre_s.png-copie-1.png

 Je note c la longueur d'une arête du cube.

 

En tronquant le cube, je coupe à la longueur s de chaque sommet.

 

Pour que l'octogone soit régulier, les huits côtés doivent être de même longueur. Je veux trouver la longueur de s.

 

carre_s_haut.png.png

 Puisque l'on va couper de la même façon à chaque coin, les segment rouges auront la même longueur.

 

EJI est un triangle rectangle en E et d'après le théorème de pythagore : s2+s2=t2

Donc t2=2s2

De plus les segments verts doivent être égaux donc

2s+t=c.

 

 

On a donc deux équations :

equa.png

L'équation (2) donne : t=c-2s. En utilisant cette expression pour t dans l'équation (1), on obtient :

(*)        (c-2s)2=2s2

En développant le membre de droite de (*) :

c2-4cs+4s2=2s2

(**)      c2-4cs+2s2=0

(**) est une équation du second degré dont l'inconnue est s. Le calcul du discriminant donne :

discri.png

Il est strictement positif donc (**) a deux solutions (une avec + devant la racine et une avec -) :

solutions.png

Mais s doit être inférieure à c. C'est donc la solution avec le - qui est la bonne : en effet

imposs

ce qui empèche la solution avec le + de correspondre au problème. Ainsi

sol.png

est la seule solution possible.

Je devrai vérifier que ma solution est correcte, mais je n'ai pas envie de le faire. Je devrai pour cela, exprimer t en fonction de ce s et puis vérifier que t et s sont solutions de (1) et (2).

 

On peut donc découper les faces carrés aux quatre coins pour obtenir des octogones réguliers à la place.

 

 Je n'ai pas vérifié que les octogones obtenues étaient réguliers, puisque je n'ai pas calculé les angles. Cela est facile à faire. On obtient bien 8 angles de (180-45)=135°.

 

Les autres faces 

 

Dans un cube, à chaque sommet se rencontrent 3 faces, en coupant ces sommets, on a donc 6 triangles équilatéraux supplémentaires.

 

Bilan

 

Dans un cube tronqué, il y a

  • Six face octagonales régulières
  • Huit faces trianguliares équilatérales.

 

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/95/Truncatedhexahedron.gif

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Published by Maths_Buchwald - dans Solides
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  • : Au départ, j'ai créé ce blog pour y publier des articles reliant Maths et histoire de l'art et la culture. Maintenant, il me permet d'aborder des sujets simples de la culture mathématique. J'aime parler de jeux vidéos. Vous trouverez aussi sur ce site des fiches de maths et Histoire des Arts de 2009-2010 au format *.pdf. Je ne sais pas où me mène ce blog donc il ne sera sans doute plus le même si je continue à l'alimenter dans un an. N'hésitez pas à laisser des commentaires.
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