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29 juin 2011 3 29 /06 /juin /2011 12:00

A est le milieu de [DE], B est le milieu de [AH], C est le milieu de [BG], D est le milieu de [CF].

 

On sait que l'aire de ABC est 12 cm². Quelle est l'aire de EFGH  ?

 

croissance_poly1.png

Solution

1) Le triangle EAH : Le triangle EAH est composé des deux triangles AEB et BEH. Je commence par le triangle AEB.

croissance_poly2.png

Comme A est le milieu de [ED], AE=DA, donc l'aire du triangle AEB est la même que celle du triangle BDA. En effet, La hauteur issue de B dans le triangle EBD et la hauteur issue de B dans le triangle ABD ne sont qu'une seule et même hauteur (en vert sur la figure), puisqu'elle passe par B est est perpendiculaire à [DE]. Cette aire vaut AE×BI/2=DA×BI/2.
B étant le milieu de [AH], on montre de la même manière que AEB et BEH sont des triangles de même aire.

Donc

Aire(AEH)=Aire(AEB)+Aire(EBH)=2×Aire(AEB)=2×Aire(ABD)

2) Les triangles BHG, CGF et FDE : En utilisant le même raisonnement, on trouve que

Aire(BHG)=2×Aire(ABC)

Aire(FCG)=2×Aire(DBC)

Aire(FDE)=2×Aire(ACD)

3) Assemblage

Aire(EFGH)= Aire(AEH)+Aire(BHG)+Aire(FCG)+Aire(FDE)+Aire(ABCD)

soit

Aire(EFGH)= 2×Aire(ABD)+2×Aire(ABC)+2×Aire(DBC)+2×Aire(ACD)+Aire(ABCD)

On peut regrouper les termes de la somme comme ci-dessous :

Aire(EFGH)=[2×Aire(ABD)+2×Aire(DBC)]+[2×Aire(ACD)+2×Aire(ABC)]+Aire(ABCD)

d'où

Aire(EFGH)=[2×(Aire(ABD)+ Aire(DBC))]+[2×(Aire(ACD)+ Aire(ABC))] +Aire(ABCD)

Or Aire(ABD)+ Aire(DBC) = Aire (ABCD) (pourquoi ?) et Aire(ACD)+ Aire(ABC) = Aire (ABCD) (pourquoi ?)

Donc

Aire(EFGH)=[2×Aire (ABCD)]+[2×Aire (ABCD)]+Aire(ABCD)=5×Aire (ABCD)

L'aire du grand quadrilatère est donc 4×12=60 cm².

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Published by Maths_Buchwald - dans polygones
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  • : Au départ, j'ai créé ce blog pour y publier des articles reliant Maths et histoire de l'art et la culture. Maintenant, il me permet d'aborder des sujets simples de la culture mathématique. J'aime parler de jeux vidéos. Vous trouverez aussi sur ce site des fiches de maths et Histoire des Arts de 2009-2010 au format *.pdf. Je ne sais pas où me mène ce blog donc il ne sera sans doute plus le même si je continue à l'alimenter dans un an. N'hésitez pas à laisser des commentaires.
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