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26 décembre 2010 7 26 /12 /décembre /2010 21:00

     Le nombre d'or est un nombre constructible. Nous ne pouvons pas en donner la valeur décimale exacte, ni l'écrire sous la forme d'une fraction de deux entiers. Cependant, il est possible de le construire. Pour voir ce qu'est un nombre constructible : Nombres constructibles

 

On part du point A et de l'axe des abscisses. L'unité nous donne le point C (1;0).


Le cercle de centre C passant par A recoupe l'axe des abscisses en D d'abscisse 2.

 

Le cercle de centre D passant par A recoupe le cercle l'axe des abscisses en  B d'abscisse 4.



cerc s

 

D est donc le mileu de [AB]. Dans Nombres constructibles, il a été vu que la médiatrice d'un segment est constructible. On peut donc construire la médiatrice de [AE] comme ci-dessous. Cette droite passe par D perpendiculairement à (AB).

media

 

 

Le cercle de centre D passant par C coupe sur la figure la droite  construite précédemment en un point G de coordonnées (2;1). On obtient un triangle rectangle ADG rectangle en D.

tri_hypo_rac5-copie-2.png

Dans le triangle ADG rectangle en D, on a d'après le théorème de Pythagore :

pyth_rac5.png

 Maintenant, je trace le cercle de centre G passant par D. Son rayon est 1.

 Ce cercle coupe la droite (AG) en deux points. Chaque point se situe à 1 unité de G et celui qui est à l'extérieur de  [AG] est noté E.

 Comme G appartient à [AE], AE=AG+GE.

Donc

AE.png

ce qui est le double du nombre d'or.

 

rac5plus1.png

 

 La médiatrice de [AE] peut être construite. On obtient ainsi le milieu H de [AE]. Donc

nb_orr.png

Il ne reste plus qu'à tracer le cercle de centre A passant par H pour obtenir le point K dont l'abscisse est le nombre d'or φ.

 

nb_or-copie-1.pngLe nombre d'or est donc constructible.

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Published by Maths_Buchwald - dans A la règle et au compas
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  • : Au départ, j'ai créé ce blog pour y publier des articles reliant Maths et histoire de l'art et la culture. Maintenant, il me permet d'aborder des sujets simples de la culture mathématique. J'aime parler de jeux vidéos. Vous trouverez aussi sur ce site des fiches de maths et Histoire des Arts de 2009-2010 au format *.pdf. Je ne sais pas où me mène ce blog donc il ne sera sans doute plus le même si je continue à l'alimenter dans un an. N'hésitez pas à laisser des commentaires.
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