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30 mai 2011 1 30 /05 /mai /2011 12:00

Suite de Les nombres rationnels sont construcibles

 

Les nombres rationnels sont constructibles, ne veut pas dire que tous les nombres sont rationnels. Je vais vous construire un nombre qui n'est pas rationnel.

 

Construction du nombre

 

Je construis le point A de coordonnées (1;1) comme points d'intersection de la perpendiculaire à l'axe des abscisses passant par C (1;0) et de la perpendiculaire aux ordonnées pasant par B (1;0). On peut construire B en faisant un cercle de rayon [OA] centré en O (0;0) en en considérant son intersection avec les ordonnées.

 

constr rac2 etap1

Ensuite je trace le cercle de centre O et de rayon OA. Il coup la demi-droite [OC) en un point D (OA;0).

C'est ce point D dont l'abscisse OA m'intéresse. Le triangle OCA est rectangle en C donc d'après le théorème de Pythagore:

OA²=OC²+OA²=1²+1²=1+1=2

Notons d=OA. On a donc d²=2, d étant positif. On en déduit que le nombre d est la racine carrée de 2.

 

rac2-1.png

 

Preuve que racine de 2 n'est pas rationnel 

 

Si d était rationnel, on pourrait écrire rac2-2.png

où p et q sont des nombres entiers naturels non-nuls. On pourrait alors supposer que cette fraction est déjà simplifiée, ou alors le faire tout de suite. En particulier, après cette simplification, p et q ne peuvent pas être tous deux pairs.

 

La chose chose que l'on connait de d est que son carré est 2. Je vais m'en servir :

rac2-3.png

p² serait donc le double de q², donc p² est pair. Dans ce cas il serait nécessaire que p lui même soit pair.  En effet un nombre impair est de la forme 2k+1, son carré est donc (2k+1)²=(2k)²+2×2k×1+1²=4k²+4k+1 (utilisation d'une identité remarquable) d'où (2k+1)²=2(2k²+2k) + 1 et donc le carré d'un nombre impair est impair.

p serait donc pair et l'on pourrait écrire : p=2m. Au carré cela donne p²=4m². Donc 4m²=2q² puis 2m²=q². Donc q² serait pair et  donc q serait lui-même pair. Pourtant, p et q ne peuvent pas être pairs tous les deux  comme cela a été dit. C'est parce qu'en fait p et q n'existent pas, ce qui veut dire que d n'est pas rationnel ! 

 

C'est une démonstration par l'absurde que j'ai utilisée ici. Cette démonstration est une des plus connues et des plus anciennes.

 

Conclusion

 

On peut donc construire des nombres qui ne sont pas rationnels, la racine carré de 2 en est un exemple, mais il y en a une infinité d'autres. En prenant un nombre au hasard sur l'axe des abscissess, les irationnels occupent tellement de places, qu'on peut être presque sur de tomber sur l'un d'eux.

 

Remarque : Pour un autre exemple de nombre irrationnel à la règle et au compas, voir Construire le nombre d'or . En effet le nombre d'or est un nombre irrationnel constructible.

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Published by Maths_Buchwald - dans Nombres
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  • : Au départ, j'ai créé ce blog pour y publier des articles reliant Maths et histoire de l'art et la culture. Maintenant, il me permet d'aborder des sujets simples de la culture mathématique. J'aime parler de jeux vidéos. Vous trouverez aussi sur ce site des fiches de maths et Histoire des Arts de 2009-2010 au format *.pdf. Je ne sais pas où me mène ce blog donc il ne sera sans doute plus le même si je continue à l'alimenter dans un an. N'hésitez pas à laisser des commentaires.
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