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13 juin 2011 1 13 /06 /juin /2011 12:00

On ne peut pas compter jusqu'à l'infini par définition même de l'infini : L'infini


Néanmoins, il est possible de savoir qu'un ensemble a une taille infini, sans compter ses éléments mais en les mettants en relation simultanément avec une infinité d'éléments. Pour pouvoir réaliser ceci, nous avons besoin de la notion de bijection.



Définition Une bijection entre deux ensembles est une application qui associe chaque élément d'un ensemble à un unique élément de l'autre.



Exemple 1: Voici deux ensembles :

  • Ens= {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26}
  • Alphabet={A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M,N,O,P,Q,R,S,T,U,V,W,X,Y,Z}

 

J'établis l'application f de Ens vers Alphabet comme suit : f(1)=A, f(2)=B,f(3)=C,........,f(26)=Z.

Chaque élément de Alphabet est l'image d'un élément de Ens, et cet élément est le seul. Par exemple, l'image de 4 est D, D a pour seul antécédent 4.


Ainsi, f est une bijection entre Ens et Alphabet.Comme il y a 26 éléments dans Ens, Alphabet en compte lui aussi 26. On dit que 26 est le cardinal de  Alphabet.

 

Pour un autre exemple de bijections entre des ensembles finis, voir par exemple Hasard entre 1 et 24

 

Exemple 2 : Voici deux ensembles

  • N = {0,1,2,3,4, .......} l'ensemble des nombres naturels
  • Pairs = {0,2,4,6,8,.....} l'ensemble des nombres pairs.

Je définis une application g de N vers Pairs en posant :

g(n)=2n

Par exemple g(45)=90.

L'application g est une bijection car :

  • chaque naturel pair est le double d'un naturel (aspect dit surjectif de la bijection)

  • un nombre ne peut pas être le double de deux nombres différents, comme on le voit en divisant par 2 (aspect dit injectif)



On peut ainsi en déduire que N et Pairs le même nombre d'éléments. Autrement dit, il y a autant de naturels pairs que de naturels. On peut dire aussi que puisque N est infini, qu'il y a une infinité de nombre pairs.

 

Les bijections permettent de compter d'un seul coup une infinité d'éléments en les associant à ceux d'un ensemble que l'on connaît.

 

Question : Y a-t-il plus grand que l'infini ?

 

Un début de réponse dans Ensemble dénombrable

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Published by Maths_Buchwald - dans Nombres
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  • : Au départ, j'ai créé ce blog pour y publier des articles reliant Maths et histoire de l'art et la culture. Maintenant, il me permet d'aborder des sujets simples de la culture mathématique. J'aime parler de jeux vidéos. Vous trouverez aussi sur ce site des fiches de maths et Histoire des Arts de 2009-2010 au format *.pdf. Je ne sais pas où me mène ce blog donc il ne sera sans doute plus le même si je continue à l'alimenter dans un an. N'hésitez pas à laisser des commentaires.
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