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25 décembre 2013 3 25 /12 /décembre /2013 12:00

Nous avons vu dans Centre de gravité d'un triangle que les trois médianes d'un triangle sont concourantes, en un point appelé centre de gravité. Au lycée, avec l'utilisation des vecteurs (voir ici), cette propriété se démontre très rapidement comme nous allons le voir.

 

Considérons un triangle ABC, nommons I millieu de [BC]. On a alors ( on peut le prouver en utilisant les coordonnées du milieu d'un segment par exemple)

 


20-copie-2

 

 

 

Nommons G le point tel que

C'est un point de la médiane (AI).

Alors on a en utilisant la relation de Chasles,

 



 

 


Or sur le point I, on a

Ainsi

Mais comme

on a (à vous de faire le calcul, ou bien croyez-moi)  

Donc

G est donc un point satisfaisant la relation :

dont on voit qu'elle est "symétrique" en A, B, et C...

 

Montrons que G est un point de la médiane (CK) issue de C passant par le milieu K de [AB].

 

 

On en tire

Mais

Alors

d'où

Ainsi K est un point de la droite (CG), ou plutôt G est un point de la droite (CK).

 

De même G est un point de (BJ) la médiane issue de B.

 

G est donc un point appartenant aux trois médianes.

21-copie-1.png

 

Remarques.

  • G est comme le prouve la dernière égalité, le seul point vérifiant 
  • On aurait pu définir G comme ceci directement, et avoir une démonstration encore plus courte. Il aurait juste suffit de montrer que G appaetenait à (AI), à (BJ) et à (CK).
  • On aurait pu faire une autre  démonstration, en considérant G comme point d'intersection de (AI) et (BJ) au départ, c'est à dire tel que
    avec α et β réels. Et il aurait fallu montrer dans un premier temps que α=2/3 et β=2/3. De même on auarit montré que le point d'intersection de (AI) et (CK) était placé au même endroit que G sur [AI], et donc qu'il coïnciderait avec G.

Dans tous les cas cette preuve est plus simple que celle utilisée dans Centre de gravité d'un triangle où l'on utilise les aires de triangles, mais qui manque de rigueur, car on utilise des partages d'aires, c'est parlant visuellement, mais on ne démontre pas de résultats liés aux aires. Que signifie "partager une aire" ? Que signifie "aire" ?

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Published by Maths_Buchwald - dans Triangles
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  • : Au départ, j'ai créé ce blog pour y publier des articles reliant Maths et histoire de l'art et la culture. Maintenant, il me permet d'aborder des sujets simples de la culture mathématique. J'aime parler de jeux vidéos. Vous trouverez aussi sur ce site des fiches de maths et Histoire des Arts de 2009-2010 au format *.pdf. Je ne sais pas où me mène ce blog donc il ne sera sans doute plus le même si je continue à l'alimenter dans un an. N'hésitez pas à laisser des commentaires.
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