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8 novembre 2010 1 08 /11 /novembre /2010 17:07

 

Un carré magique est un carré de nombres tel que :

- la somme des nombres de chaque ligne

- la somme des nombres de chaque colonne

- la somme des nombres des deux diagonales

sont toutes identiques comme dans l'exemple ci-contre. Celui-ci possède 3 lignes (et dons 3 colonnes) et l'on dit qu'il est d'ordre 3.

 

Cette gravure, ainsi que d'autres réalisations de Dürer sont en rapport avec les mathématiques. En ce qui concerne les solides, j'y reviendrai plus tard sur ce blog. Pour aujourd'hui seul le carré de nombre m'intéresse. En attendant, on pourra aller sur ce wiki par exemple.

 

 

Dans la gravure d'Albrecht Dürer intitulée Melancolia 1, ci-contre, on peut trouver un carré de nombres sous la cloche.

 

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/18/D%C3%BCrer_Melancholia_I.jpg/464px-D%C3%BCrer_Melancholia_I.jpg    

carré diabolique 

 

 

 

 

   Ce carré contient 4 lignes et 4 colonnes. Il est d'ordre 4. Il contient ainsi

4²=4×4=16 cases.

Dans ces cases figurent les 16 premiers nombres entiers non-nuls :

1, 2, 3, ............., 14, 15, 16.

 

    On peut vérifier que ce carré est magique.  

 

 

 Chaque somme vaut 34.

 

    Cette gravure est riche de liens avec les maths. Ce carré se révèle lui-même fascinant.

 

 

 

 

 

 

 

On peut mener l'expérience suivante. Sur une feuille de papier carrée, construisez un carré par pliage constitué comme celui-ci. souligner le dessous des nombres : 6, 9 et 8. Voir la vidéo ci-dessous : 

 
 

 

carré diabolique

 

 

Il est alors possible de plier le carré en suivant les lignes et les colonnes pour ne plus obtenir qu'un seul petit carré épais de 16 couches. Ceci peut se faire de mutliples façons.

 

Une première façon :

 

 

 

Un deuxième pliage possibe :

 

 

 

 

En tenant fermement ce carré, découper les bords (attention à ne pas vous couper) tout en s'assurant qu'aucune des 16 épaisseurs n'a bougé. On obtient alors 16 cartes contenant chacune un nombre.

 

 

 

Avec ces 16 cartes, nous allons faire 4 tas, en déposant les nombres de la manière suivante. Poser le premier carré sans le tourner ni le retourner. Il peut être de 4 types :

  • type 1 : le nombre est visible au dessus de la carte
    • type 1.a : le nombre est visible au dessus de la carte et dans le bon sens de lecture. Posez la sur le tas N°1.
    • type 1.b : le nombre est visible au dessus de la carte et mais le  sens de lecture est inversé. Posez la sur le tas N°2.
  • type 2 : le nombre est invisible, il est située sous la carte. Retourner le carte comme si vous tourniez une clé.
    • type 2.a : le nombre est dans le bon sens de lecture. Posez la carte sur le tas N°3.
    • type 2.b : le nombre n'est pas dans le bon sens de lecture. Posez la carte sur le tas N°4

 

 

 

 

 

  Nous obtenons 4 paquets : l'ordre d'apparition des cartes après découpage dépend de la façon avec laquelle a été plié le carré.

 

Observez bien les vidéos qui suivent : dans le première je place les cartes dans les catégories 1.a et 1.b et laisse les cartes de type 2 de côté sans les retourner. Dans la seconde, je m'occupe de répartir les cartes de catégorie 2 en 2.a et 2.b. Dans la deuxième vidéo, on peut voir qu'il y a un problème, même si je ne m'en rend pas compte.....

 

 

 

 

 


 

Attention dans la vidéo, on voit qu'il n'y a que 3 cartes dans le tas 2.b. Heureusement, en comptant les cartes du premier tas, j'ai pu retrouver la carte en question. Elle était bien retournée et portaint le numéro 2 !!

 

          Total
Paquet 1.a 5 4 14 11 34
Paquet 1.b 3 6 12 13 34
Paquet 2.a 8 1 15 10 34
Paquet 2.b 16 9 7 2 34

 

 

Pour chaque paquet, la somme obtenue est égale à 34 !

 

On dit que ce carré est diabolique .

 

 

 

Dans cette expérience, nous avons fait de l'analyse combinatoire. En mettant en désordre les nombres du carré, nous avons vu qu'une certaine propriété : la somme de 4 nombres consécutifs vaut 34, était conservée.

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Published by Maths_Buchwald - dans Dürer
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  • : Au départ, j'ai créé ce blog pour y publier des articles reliant Maths et histoire de l'art et la culture. Maintenant, il me permet d'aborder des sujets simples de la culture mathématique. J'aime parler de jeux vidéos. Vous trouverez aussi sur ce site des fiches de maths et Histoire des Arts de 2009-2010 au format *.pdf. Je ne sais pas où me mène ce blog donc il ne sera sans doute plus le même si je continue à l'alimenter dans un an. N'hésitez pas à laisser des commentaires.
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