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28 février 2011 1 28 /02 /février /2011 12:00

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Cette article répond un peu à la question posée ici : Je suis au 80è étage.

Combien y a-t-il de descentes possibles ?

 

Pour décrire une descente, il me suffit de citer tous les boutons sur lesquels j'ai appuyé. Comme j'appuie nécessairement sur le bouton 2, il sera inutile de le mentionner si je voulais énumérer toutes les descentes possibles.

 

Ainsi toute descente du 80 è au 2d étage est entièrement décrite par tous les boutons sur lesquels j'ai appuyé, par exemple : si je m'arête au 45 è étage, au 33 è, au 11è puis au 4è avant de descendre au second, j'ai réalisé la descente : 45-33-11-4.

 

Toute descente est donc une suite de r nombres différents :


Nombre_1 -..... - Nombre_r


dans l'ordre strictement décroissant. Chacun des nombres doit être compris entre 79 et 3 inclus. r étant le nombre d'étapes, il peut y avoir de 0 étape à 77 (compter de 3 à 79), ainsi r est compris entre 3 et 77.

 

Inversement si l'on se donne r nombres différents compris entre 3 et 79, cela nous donnera une descente : par exemple : 78 - 45- 4 veut dire que je me suis arrêté aux étages 78, 45 et 4 et enfin au second.

 

Choisir une descente c'est donc comme choisir plusieurs nombre compris entre 3 et 79.

 

Fabriquons une descente pour voir comment elle est constituée :

  • J'appuie ou non sur le bouton 79 : 2 possibilités
  • J'appuie ou non sur le bouton 78 : 2 possibilités
  • .......
  • J'appuie ou non sur le bouton 3 : 2 possibilités
  • J'appuie sur le bouton 2.

Combien y a-t-il de descente ou j'appuie sur le bouton 79 ?

Combien y en a-t-il ou je n'appuie pas sur le bouton 79 ?

 

Dans les deux cas il y en a autant car le fait que j'ai appuyé ou pas sur le bouton 79 ne m'empèche pas ou ne m'oblige pas à appuyer sur les autres boutons. On peut en déduire que le nombre de descentes du 80 au 2 est le double du nombre de descente du 79 au 2.

 

De même, le nombre de descentes du 79 au 2 est le double du nombre de descente du 78 au 2. Donc le nombre de descentes du 80 au deux est de 2×2 le nombre de descentes du 78 au 2.

 

De même, le nombre de descentes du 80 au 2 est de 2×2×2 le nombre de descentes du 77 au 2.

 

De même, le nombre de descentes du 80 au 2 est de 2×2×2×2 le nombre de descentes du 76 au 2.

 

Et ainsi de suite...

 

Le nombre de descentes du 80 au 2 est de 2×2×....×2 (n facteurs 2) le nombre de descentes de l'étage situé n étages sous n à l'étage 2.

 

L'étage 3 est situé 80-3=77 étages sous le 80. Donc Le nombre de descentes du 80 au 2 est de 2×2×....×2 (77 facteurs 2) le nombre de descentes de l'étage 3 au 2. On descend forcément au 2 lorsque l'on est au 3, donc la réponse est 2×2×....×2 (77 facteurs 2) c'est à dire 2 puissance 77 : 277

 

 

 

 

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Published by Maths_Buchwald - dans Nombres
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  • : Au départ, j'ai créé ce blog pour y publier des articles reliant Maths et histoire de l'art et la culture. Maintenant, il me permet d'aborder des sujets simples de la culture mathématique. J'aime parler de jeux vidéos. Vous trouverez aussi sur ce site des fiches de maths et Histoire des Arts de 2009-2010 au format *.pdf. Je ne sais pas où me mène ce blog donc il ne sera sans doute plus le même si je continue à l'alimenter dans un an. N'hésitez pas à laisser des commentaires.
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