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21 décembre 2010 2 21 /12 /décembre /2010 14:59

Je me limite au cas des polygones réguliers convexes. Dans l'arcticle Les polygones réguliers sont inscriptibles dans un cercle, on a vu que pour tout polygone régulier, il existe un unique cercle passant par tous les sommets. 

 

Considérons par exemple un polygone à 7 sommets comme dans la figure ci-dessous :

poly_cer5.png

Les rayons du cercles (en jaune sur la figure) coupent les angles du polygones en 2 angles égaux. En effet, tous les triangles joignant le centre du cercle à 2 sommets consécutifs du polygone sont isocèles (les côtés jaunes sont tous égaux). 

Notons α l'angle du polygone :

α=<BAC=<ACD=<CDE=<DEF=<EFG=<FGA

Comme la somme des angles au centre fait 360 ° :

<AΩB + <BΩG + <GΩF + <FΩE + <EΩD + <DΩC + <CΩA = 360°

et que dans chaque triangle : l'angle de sommet Ω vaut (180-α) (pourquoi ?), on en déduit que

<AΩB =  <BΩG = <GΩF= <FΩE = <EΩD = <DΩC = <CΩA = 360°/7 = 180°-α

Ainsi α=(180-360/7)°.

 

On peut généraliser ce résultat :

Pour un polygone régulier convexe à n côtés, les angles sont égaux à 180-360/n (en degrés).

 

Par exemple, dans un pentagone régulier convexe les angles mesurent 180-360/5 = 180-72=108°.

pent.png

La somme des angles du pentagone régulier convexe est donc de 5 × 108 = 540°.

Pour un polygone régulier convexe à n côtés elle est de

n × (180-360/n)=180n -360°. 


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Published by Maths_Buchwald - dans polygones
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  • : Au départ, j'ai créé ce blog pour y publier des articles reliant Maths et histoire de l'art et la culture. Maintenant, il me permet d'aborder des sujets simples de la culture mathématique. J'aime parler de jeux vidéos. Vous trouverez aussi sur ce site des fiches de maths et Histoire des Arts de 2009-2010 au format *.pdf. Je ne sais pas où me mène ce blog donc il ne sera sans doute plus le même si je continue à l'alimenter dans un an. N'hésitez pas à laisser des commentaires.
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