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3 mai 2011 2 03 /05 /mai /2011 12:00

Comment faire des addition en base quatre ?

 

Un exemple en base dix

 

Voyons comment on effectue une addition posée en base dix puisque celle-ci nous est familière. En base dix, lorsque l'on fait une addition, c'est aux retenues qu'il faut faire attention.

 

Par exemple, si je calcule 139+52, je pose l'opération comme ci-dessous.

 

IMGP4101.JPG 9+2 =11 dépasse 10, il faut donc au moins deux chiffres (en base 10) pour écrire ce nombre.

On place donc une retenue (1 en vert) pour prendre en compte le chiffre des dizaines de 11.

 

139 = 1×100 + 3×10 + 9

52=5×10 +  2

Donc 139 + 52 = 1×100 + 3×10 + 5×10 + 9+ 2 =  1×100 + (3+5)×10  + (9+ 2)

Comme 9+2=11=1×10 + 1, on a donc 139 + 52 = 1×100 + (3+5)×10  + 1×10 + 1 = 1×100 + (3+5+1)×10  + 1

Voilà d'où vient la retenue.

 

Remarque : On a bien 139 + 52 =1×100 + 9×10  + 1=191.

 

 

En base 4

 

Effectuons l'opération (103)4 + (21)4.

 

(103)4=1×42 + 0×4 +3 (=16+3=19 en base dix)
(21)4=2×4+1 (=8+1=9 en base dix)

 

Donc

 (103)4+(21)4=1×42 + 0×4 +2×4+ 3 +1=1×42 + 2×4+ 3 +1

Or 3 +1 = 4  donc (103)4+(21)4=1×42 + 2×4+ 1×4=1×42 + (2+1)×4=1×42 + 3×4=(130)4

Vérification : En base dix : (103)4+(21)4=19+9=28 ce qui correspond bien à 1×42 + 3×4.

 

Il y a  une retenue lorsque la somme de deux chiffres nécessite au moins deux chiffres, donc lorsqu'elle est au moins égale à 4=(10)4.


En posant l'opération, cela donne ceci (image à droite).

IMGP4103.JPG


 

Voici un autre exemple :

 

IMGP4104.JPG 

3+2=5=4+1=(10)4+1, on note 1 dans la colonne des unités et 1 en retenue (colonne des quatraines).

 

1+2+3=6=4+2=(10)4+2, on note 4 dans la colonne des quatraines et 1 en retenue (colonne des seizaines).

 

(123)4+(32)4=(221)4

 

 

Conclusion


  • On commence par la colonne la plus à droite.
  • Dans la colonne dans laquelle on est  : Pour effectuer une addition de deux nombres entiers posée en base quatre, on additionne les chiffres de la même colonne :
  •  
    • Si le résultats ne dépasse pas 4=(10)4, alors on le note simplement dans le colonne correspondnante.
    • Si le résultat dépasse 4=(10)4, on ajoute la retenue (ce qui dépasse de quatre dans la colonne de gauche).
    • On reproduit la même méthode la colonne juste à gauche, sauf s'il n'y en a plus auquel cas le calcul est terminé.

J'ai donné une description de l'addition en base 4 sous forme d'algorithme, c'est un programme qu'il suffit d'appliquer. C'est toujours ce que nous faisons lorsque nous effectuons une opération.

 

Comment fait-on les autres opérations en base 4 ?

 

Réponse et autres articles concernant la base 4 ici.

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Published by Maths_Buchwald - dans Nombres
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