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14 novembre 2010 7 14 /11 /novembre /2010 17:33

Cet épisode bonus s'avère plus complexe que le reste. Il explique pourquoi les approximations du nombre d'or peuvent se calculer grâce à la suite de Fibonacci. Voir Episode 7.

 

En formule cela donne

 

 

En utilisant un tableur, on peut facilement calculer les 100 premiers termes de la suite de Fibonacci.

 

 

 

Pour le moment, nous allons voir comment être certain que la suite de Fibonacci est bien liée aux fractions de l'épisode 5.

 

Pour les 4 termes en rouges, on voit que les nombres de Fibonacci apparaissent dans l'ordre au dénominateur. Au numérateur, c'est le terme suivant.

 

Le passage qui suit est plutôt destiné à des élèves de Lycée (1ère).

 

Faisons la conjecture que au n-ième terme de la suite, nous avons le (n+1)-ième terme de la suite de Fibonacci au dénominateur et le (n+2)-ième au numérateur. En formule celà donne :

a1.pngoù Fn est le n-ième terme de la suite de Fibonacci.

On a donc

a2-copie-1.png

 


 

Or Fn+Fn+1=Fn+2. On en déduit que : an+2=Fn+2/Fn+1 donc la formule est héréditaire. C'est un raisonnement par récurence. Comme elle fonctionne pour les premiers termes (en rouge), étant hériditaire , elle est valable pour tout n.

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Published by Maths_Buchwald - dans Nombre d'or
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  • : Au départ, j'ai créé ce blog pour y publier des articles reliant Maths et histoire de l'art et la culture. Maintenant, il me permet d'aborder des sujets simples de la culture mathématique. J'aime parler de jeux vidéos. Vous trouverez aussi sur ce site des fiches de maths et Histoire des Arts de 2009-2010 au format *.pdf. Je ne sais pas où me mène ce blog donc il ne sera sans doute plus le même si je continue à l'alimenter dans un an. N'hésitez pas à laisser des commentaires.
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