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11 novembre 2010 4 11 /11 /novembre /2010 19:35

Episodes précédents :

Pilote : Rectangle d'or

Episodes :

  1. Avec GeoGebra
  2. Dans les tableaux
  3. 5/3 ?
  4. Fractions continues
  5. Approximation rationnelle

    Nous avons vu précédemment que le nombre d'or φ (le grand côté d'un rectangle d'or quand le petit côté mesure 1), était approché par la suite de nombres : a1, a2, a3, a4, a5, a6, etc.

   En effet les nombres   a1, a2, a3, a4, a5, a6, ...... tournent autour de φ et semblent s'en rapporchent de plus en plus. Il semble même que l'on puisse s'en approcher aussi près que l'on veut grâce à ces ai (i est le numéro de a)

   Ces ai sont eux-même surprenants comme nous allons le voir dans la suite.

 

Commençons par a1 et a2. On a vu que :

 

a 1

 

 

 

 

Remarque :

Pour calculer a2, on utilise la formule de 4ème (en vert) :

inv.png

valable pour p et q non nuls.

 

 

a2

 

 

 

Ce qui peux nous interpeller ici est en rouge

En effet si l'on continue de la sorte avec les termes suivants :

Ne regardons que ce qui est en rouge

 

  • Regardons les dénominateurs : par ordre ce sont

1, 2, 3, 5

  • Regardons les numérateurs : par ordre ce sont

1+1, 2+1, 3+2, 5+3

 

c'est à dire aussi

2, 3, 5, 8

 

On peut donc conjecturer que les numérateurs font partie d'une suite : 

1,2,3,5,.....

et que les numérateurs font partie de la suite

2,3,5,8,.....

 

La suite de nombre

1,2,3,5,8,.......

est appelée la suite de Fibonacci.

 

Nous verrons dans le prochain épisode si nous pouvons prévoir les autres nombres de cette suite.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/35/Fibonacci2.jpg

 

 

     Léonardo Fibonacci était le nom d'un mathématicien Italien connu sous le nom de Léonard de Pise (Leonardo Pisano). Il vécut au 12è et 13è siècle.

 

     Dans son livre Liber Abaci (écrit en Latin comme tous les textes mathématiques de cette époque en Europe), il parle de la suite

1, 1, 2, 3, 5, 8, ...

      Dans le prochain épisode, nous verrons comment Fibonacci aborde cette suite de nombre en se servant d'un élevage de lapins....

  lapins.jpg

 

     Nous nous approcherons sans doute du secret du fameux nombre d'or.

 

 

A suivre....

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Published by Maths_Buchwald - dans Nombre d'or
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  • : Au départ, j'ai créé ce blog pour y publier des articles reliant Maths et histoire de l'art et la culture. Maintenant, il me permet d'aborder des sujets simples de la culture mathématique. J'aime parler de jeux vidéos. Vous trouverez aussi sur ce site des fiches de maths et Histoire des Arts de 2009-2010 au format *.pdf. Je ne sais pas où me mène ce blog donc il ne sera sans doute plus le même si je continue à l'alimenter dans un an. N'hésitez pas à laisser des commentaires.
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