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7 novembre 2010 7 07 /11 /novembre /2010 15:53

Episodes précédents :

Dans l'épisode précédent, nous avons simplifié le problème en supposant que le petit côté du rectangle d'or mesurait une unité, disons 1 cm. On a alors trouvé que le nombre d'or se cache dans une fraction continue, c'est à dire dans une "fraction infinie" :

 

Donc on pourrait écrire

 

Dans les pointillés, il y a une infinité de calculs.

Observons ce qui se passe lorsque l'on remplace a par 1 dans chacune des fractions : Numérotons nos approximations de a :

Remarque : Ce que j'avais pris pour le nombre d'or dans l'épisode 3 était en fait la 3ème approximation.

 

Biensur, on pourrait continuer ainsi encore longtemps. Cependant quelquechose me dit que nous nous approchons de la solution. En effet, la différence entre les résultats de deux calculs consécutifs se réduit :

etc.....

 

 

 

J'ai représenté sur l'axe ci-dessous les 5 premières approximations du nombre d'or :

approx

a3 est entre a1 et a2

a4 est entre a3 et a2

a5 est entre a3 et a4

On peut conjecturer que a6 sera entre a5 et a4

                                     que a7 sera entre a5 et a6

                                      etc...

 

Les approximations semblent donc se retrouver dans des boites de plus en plus petites, comme des poupées gigognes. Dans chaque boite, on trouve une boite plus petite. Mathématiquement, cela correspond aux conditions du théorème des segments emboités. 

 

On peut donc conjecturer que le nombre d'or se trouve à l'intérieur de toutes ces boites.

 

A suivre....

 

 

 

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Published by Maths_Buchwald - dans Nombre d'or
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  • : Au départ, j'ai créé ce blog pour y publier des articles reliant Maths et histoire de l'art et la culture. Maintenant, il me permet d'aborder des sujets simples de la culture mathématique. J'aime parler de jeux vidéos. Vous trouverez aussi sur ce site des fiches de maths et Histoire des Arts de 2009-2010 au format *.pdf. Je ne sais pas où me mène ce blog donc il ne sera sans doute plus le même si je continue à l'alimenter dans un an. N'hésitez pas à laisser des commentaires.
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