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23 novembre 2010 2 23 /11 /novembre /2010 20:24

Cet article fait suite à la série d'article suivants :

 

La première partie (conjecture) est accessible si l'on connait la définition de puissance. Les passages traitant de récurence sont adressés aux internautes plus expérimentés.

 

Dans cet épisode, je vais partir de l'équation vérifiée par le nombre d'or (qui est positif)

 

 

pour en déduire un calcul simple des puissances du nombre d'or.

 

Première partie : trouver une conjecture

 

A chaque fois, on remarque que la puissance de a calculée est  un multiple de a plus un entier.

La nombres apparaissant à droite sont les nombres de la suite de Fibonacci.

 

Par exemple, pour a5 = 5a +3, 5 est le 5ème nombre de la suite de Fibonacci et 3 est le quatrième.

Par exemple, pour a4 = 3a +2, 3 est le quatrième nombre de la suite de Fibonacci et 2 le troisième.

 

On peut établir la conjecture suivante :Pour n entier positif :

 

Deuxième partie : Démonstration

Avant la conjecture, nous avons vu que la formule précédente fonctionne pour n=0 car a1 =a+1= 1a+1.

Supposons que pour un certain n positif, on a l'hypothèse de récurence

Montrons qu'on a une une formule identique au rang suivant, c'est à dire

On a

en itilisant l'hypothèse de récurence pour an+1 .

Donc 

Or par définition de la suite de Fibonacci :

donc

Ceci prouve que la propriété est héréditaire.

Donc on a démontré que pour tout n

Remarque

Pour n négatif, on peut prolonger cette formule après avoir défini les nombres de Fibonacci d'indice négatif.

 

 

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Published by Maths_Buchwald - dans Nombre d'or
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  • : Au départ, j'ai créé ce blog pour y publier des articles reliant Maths et histoire de l'art et la culture. Maintenant, il me permet d'aborder des sujets simples de la culture mathématique. J'aime parler de jeux vidéos. Vous trouverez aussi sur ce site des fiches de maths et Histoire des Arts de 2009-2010 au format *.pdf. Je ne sais pas où me mène ce blog donc il ne sera sans doute plus le même si je continue à l'alimenter dans un an. N'hésitez pas à laisser des commentaires.
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