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9 mai 2011 1 09 /05 /mai /2011 12:00

Cet article fait suite à

Aujourd'hui, je vais m'intéresser à une conjecture faite précédemment :

"Pour tous les termes apparaissant dans la suite de Conway, les seuls chiffres sont 1,2 ou 3"



Comment démontrer cette affirmation ? Elle est facile à vérifier comme cela a été fait qu'elle est vrai pour les 10 premiers termes de la suite. Cela ne prouve pas qu'elle le soit pour tous. Même si je calculais 1 000 000 de termes, cela ne le prouverai pas, même s'il n'y a pas d'erreur. En effet il faut le montrer pour tous les termes, et un million ne représente rien comparé à une infinité.



Considérons la propriété suivante :

"Le premier terme de la suite de Conway n'est composé que de 1, de 2 ou de 3"



Cette propriété est vraie car le premier terme est 1. Je l'appelle P(1). On dit P(1) au lieu de dire P(1) est vraie. Donc disons P(1).



J'appelle P(2) la propriété suivante :



"Le premier et le deuxième terme de la suite de Conway n'est que composé que de 1, ou 3"



Je dis P(2). En effet, le second terme de la suite est 11.



Comme les termes de la suite sont définis à partir du terme précédent, si la propriété de n'avoir que des 1, 2 ou 3 se transmet automatiquement à la génération suivante, alors le problème sera résolu pour l'infinité des termes formant la suite. A proprement parler, je vais utiliser une raisonnement par récurrence.



Je pose :



P(n) : "Le 1er, 2ème, ....., n-ième terme de la suite de Conway n'est composé que de 1, de 2 ou de 3".



Autrement dit :



P(n) : "Tous les termes de la suite de Conway d'indice inférieur ou égal à n ne sont composés que de 1, 2 ou 3".



  1. Nous venons de voir que P(1) (et P(2))

  2. Supposons P(k) pour k quelconque au moins égal à 3. Pour montrer l'hérédité, il faut P(k+1).

Au lieu de considérer la suite de Conway je vais raisonner avec la suite symbolique de Conway. On pourra alors remplacer le mot chiffre par le mot symbole dans ce qui suit.

P(k) donc les k premiers termes ne sont composés que de 1,2 ou 3.

Est-il possible que le (k+1)-ième terme comporte un chiffre au moins égal à 4 ?



Supposons que ce soit le cas. Comme les chiffres du terme vont par paires, ce chiffre est le premier ou le deuxième de la paire. C'est nécessairement le premier car P(k) implique que ce chiffre n'apparaît pas dans le k-ième terme. Appelons ce chiffre C. S'il y a plusieurs chiffres au moins égaux à 4, choisissons pour C le plus petit d'entre eux. Ainsi le (k+1)-ème terme est de la forme : .....C1........ ou .....C2....... ou .....C3.......

Étudions les trois cas :

  1. .....C1...... : alors dans le k-ième terme, on a au moins quatre chiffre 1 qui se suivent : .....1111...... dans le terme précédent qui provient de ....11.... dans le terme (k-2). Mais alors cela aurait par exemple donné 21 dans le (k-1)-ième terme ce qui n'est pas 1111. Il aurait pu aussi donner 31 ou *1 (* est le nombre de 1 consécutif à l'endroit concerné dans le terme (k-2)). Cette possibilité est donc abandonnée.

  2. .....C2....... : alors dans le k-ième terme, on a au moins quatre chiffre 1 qui se suivent : .....2222...... dans le terme précédent, et cela provient de .....2222.... dans le terme (k-2). Mais alors cela aurait par exemple donné 42 dans le (k-1)-ième terme ce qui n'est pas 2222. Comme dans le cas précédent, on a *2 dans le (k-1)-ième terme ce qui n'est pas 2222. Cette possibilité est donc abandonnée.

  3. .....C3....... : alors dans le k-ième terme, on a au moins quatre chiffre 1 qui se suivent : .....3333...... dans le terme précédent, cela provient de ....333333.... dans le terme (k-2). Mais alors cela aurait donné *3 dans le (k-1)-ième terme ce qui n'est pas 3333. Cette possibilité est donc abandonnée.

Ainsi un tel C ne peut pas exister. Autrement dit, aucun chiffre ne peut être au moins égal à 4 dans le (k+1)-ième terme.



La propriété est donc héréditaire.

Donc pour la suite symbolique de Conway : Pour tout n, P(n). Cela signifie qu'aucun symbole n'est strictement plus grand que 3. Les symboles utilisés sont donc les même que ceux de la base 10 (et même que ceux de la base 4). Ainsi le résultat est aussi démontré pour la suite de Conway.



Remarque :

  • En écrivant la suite de Conway en base au moins égale à 4, la propriété est vraie : Aucun chiffre des termes n'est différent de 1,2 ou 3. Cela est nécessairement vraie pour dans les bases 1, 2 ou 3.
  • Dans la démonstration, pour montrer l'hérédité qui est une implication P(k) implique P(k+1). On a supposé P(k) et non(P(k+1)) pour aboutir à un paradoxe. Comme on l'a vu P(k) et non(P(k+1)) ne peuvent pas exister dans le même monde, sinon cela créé un paradoxe. Donc P(k) implique P(k+1). C'est un raisonnement par l'absurde.

 

 

Reste à prouver une autre affirmation : le nombre de chiffres des termes de la suite de Conway est croissant.

 

A suivre .....

 

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Published by Maths_Buchwald - dans Nombres
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