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28 juin 2011 2 28 /06 /juin /2011 12:00

Dans Pourquoi 0,9999.... est égal à 1 ? , nous vîmes que 0,9999..... (infinité de chiffres 9) écrit en base dix était égal à 1.

 

En base 10, les chiffres dans l'ordres sont 0,1,2,3,.....,8,9

En base 4, les chiffres sont 0,1,2,3

 

Le nombre (0,33333.......)4 est-il égal à 1 ? [l'indice 4 indique que l'écriture est en base 4].

 

Je vais appliquer le même raisonnement que dans la fin de l'article cité précédemment :

Je note a=0,33333.......

Alors (10)4a=3,3333....... (voir la remarque fin de  Tables d'additions, de multiplications et multiplications en base 4  )

Ainsi  (10)4a- a = 3, c'est à dire 3a=3 d'où l'on déduit a=1.

 

Ce genre de résultat se généralise simplement à toutes les baes

 

Propriété. Si β est un entier au moins égal à 2, alors  (0,αααααααααααα...........)β=1, où  α=β-1 est le dernier chiffre utilisé en base β.

 

Preuve.

 

Je note a=(0,αααααααααααα...........)β

Alors (10)βa=(α,αααααααααααα...........)β donc (10)βa-a=αa=α d'où a=1.

FIN DE LA PREUVE.

 

Sommes infinies

 

  • En base 10, l'égalité 0,9999.......=1 s'écrit aussi

que l'on peut encore noter

  • De même le résultat prouvé plus haut en base 4 donne

Ce sont des sommes avec une infinité de termes. Nous en utilisons en fait à chaque fois que nous faisons des divisions avec un développement décimal infini comme dans 0,333..... ou 0,999.... Cependant une explication rigoureuse devrait justifier de telles écritures (peut-être plus tard sur ce blog...).

 

 

Mais au fait pourquoi la pierre finit-elle par atteindre l'arbre ? Voir Un paradoxe de Zénon

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Published by Maths_Buchwald - dans Nombres
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  • : Au départ, j'ai créé ce blog pour y publier des articles reliant Maths et histoire de l'art et la culture. Maintenant, il me permet d'aborder des sujets simples de la culture mathématique. J'aime parler de jeux vidéos. Vous trouverez aussi sur ce site des fiches de maths et Histoire des Arts de 2009-2010 au format *.pdf. Je ne sais pas où me mène ce blog donc il ne sera sans doute plus le même si je continue à l'alimenter dans un an. N'hésitez pas à laisser des commentaires.
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