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7 juillet 2011 4 07 /07 /juillet /2011 12:00

Voici le paradoxe de Zénon dont je vous avais déjà parlé :

On lance une pierre vers un arbre. Avant d'atteindre l'arbre la pierre doit arriver à la moitité du parcours. Il lui reste alors  la moitié du parcours à traverser. Pour y parvenir elle doit franchir la moitié de cette moitié de parcours. Il lui reste alors la moitié de la moitié du parcours à traverser.... et ainsi de suite....

Merci à l'internaute qui m'a parlé du blog Les Paradoxes Interdits où l'on peut voir la vidéo ci-dessous

 

 

Disons que la distance entre le lanceur de la pierre et l'arbre est 1. (1 décamètre par exemple)
La moitié est 1/2.
La moitié de la moitié = le quart est 1/4.
La moitié du quart = le huitième est 1/8.
.....
Donc la pierre doit avant d'atteindre l'arbre parcourir :
1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+..........................................................................
Cette somme infinie est donc inférieure ou égale à 1. En fait, elle est égale à 1. On dit qu'elle "converge" vers 1.
En effet, en base 2 cette somme s'écrit (0,1111......)2 car :

Or dans l'article 0,33333..... en base quatre , nous voyons que ce nombre est égal à 1.

 

A moins que la pierre freine indéfiniment, elle finit donc par atteindre l'arbre. En tout cas, c'est le cas si sa vitesse est constante, puisqu'alors le temps de parcours est proportionnel à la distance.

En général, pour savoir si une somme infinie "converge" (si elle est égale à un nombre), on utilise d'autres méthodes. On ne peut pas toujours, comme ici, calculer cette somme, même lorsque l'on sait qu'elle existe .....
Ici, on peut calculer la somme grâce aux suites géométriques (plus tard sur ce blog).
En effet,

Reformulé avec le symbole sigma cette égalité devient :

Si l'on calcule cette somme jusqu'au k-ième terme, on a le nombre 0,1111.... écrit en base 2 avec k chiffres 1 :

C'est la somme d'une suite géométrique de raison 1/2, on peut donc utiliser la formule ci-dessous :

où q=1/2, m=k et j=n.

Ainsi, on calcule :

Or la suite 1/2, 1/4, 1/8, ....., 1/(2k), .... tend vers 0 (pour ceux qui connaissent...), c'est à dire

Comme 1-0=1, on a

C'est une méthode plus formelle pour prouver que 0,11111........ en base 2 est égale à 1.

 

 

 


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Published by Maths_Buchwald - dans Nombres
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  • : Au départ, j'ai créé ce blog pour y publier des articles reliant Maths et histoire de l'art et la culture. Maintenant, il me permet d'aborder des sujets simples de la culture mathématique. J'aime parler de jeux vidéos. Vous trouverez aussi sur ce site des fiches de maths et Histoire des Arts de 2009-2010 au format *.pdf. Je ne sais pas où me mène ce blog donc il ne sera sans doute plus le même si je continue à l'alimenter dans un an. N'hésitez pas à laisser des commentaires.
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