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25 septembre 2014 4 25 /09 /septembre /2014 22:07

Combien de couples peut-on créer dans un groupe de n personnes ?

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14 janvier 2014 2 14 /01 /janvier /2014 12:00

Ce billet a pour sujet la suite des nombres : 

 

1, 1/2 , 1/3, 1/4 , 1/5, 1/6, 1/7, 1/8, etc......

 

Cette suite de nombre, notons la (un), telle que pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1 :


Décroissance de la suite

Cette suite est décroissante. En effet, considérons deux termes consécutifs quelconques un et un+1 pour un n au moins égal à 1. On a

 

59

Or


car n + 1 ≥ n ≥ 1 > 0 implique n(n + 1) > 0.

 

Ainsi un >un+1 pour tout n au moins égal à 1. Autrement dit, (un) est une suite décroissante.

 

S'approcher de zéro

Les termes de cette suites s'approchent aussi près que possible de zéro sans jamais l'atteindre. Atteindre zéro est imposible car le numérateur de


est 1 quelquesoit n !

 

Soit ε>0 un nombre ("ε" se lit epsilon). On peut choisir ε aussi petit que l'on veut, et trouver une valeur n pour laquelle 

 

 

 

Puisque n>0, cela est équivalent à

Et il suffit pour cela de prendre

Par exemple, pour n>1/8,125=8, on a 1/n<0,125.

 

60.png

Pour n plus grand que 8, tous les termes de la suite sont à moins de 0,125 de zéro.

Notion de convergence vers zéro

Nous venons de voir que la suite (un) converge vers zéro. Voici la définition 

 

Définition. Si pour tout ε>0, il existe un entier naturel N tel que :

  • n≥ N implique  -ε<un<ε

alors on dit que (un) converge vers zéro.

 

Remarque. -ε<un<ε implique sur un dessin que les terme de la suite sont tous dans le disque centré en zéro et de rayon ε à partir d'un certain rang.

 

Si (un) converge vers zéro, on dit aussi que la limite de (un) est zéro, ce qui se note



 

A suivre : convergence d'une suite.....

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12 janvier 2014 7 12 /01 /janvier /2014 12:00

Ce billet suit Permutations , une introduction WTF ici.

 

 

On supposera que n est un entier naturel au moins égal à 1.

 

On suppose que k est un entier naturel au moins égal à 1. On suppose que S est un ensemble.

 

Définition. Si k est au moins égal à 2, un k-uplet de S est une suite finie de k éléments de S : (x1,x2,.....xk). Si k=1, un k-uplet=1-uplet de S est simplement un élément de S.

 

Exemple. Si S={1,2,3} les 2-uplets de S sont (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2), (3,3).

Il faut bien faire attention qu fait que (1,2) et (2,1) sont des 2-uplets diférents.

Parmi les 2-uplets de S, ceux dont les termes sont distincts (sans répétition) sont  (1,2), (1,3), (2,1), (3,1), (3,2) .

 

Les k-uplets sont des suites ordonnées, l'ordres des termes qui le composent est donc à prendre en compte.

 

Définition. Supposons que S comporte n éléments. Le nombre de k-uplets d'éléments distincts (sans répétition) est noté 


Un tel nombre est appelé un arrangement.

 

Exemple. D'après l'exemple précédent

Il existe une formule permettant de déterminer les nombres d'arrangements

 

Propriété. Si k est un entier naturel inférieur ou égal à l'entier n, on a




Démonstration. La preuve est identique à celle du nombre de permutations.  Construisons un k-uplet :

  • Pour le premier terme, il y a n choix possibles
  • pour le deuxième, il en reste (n-1) (puisqu'il n'y a pas de répétition)
  • .....
  • pour le (k-1)-ième, il y en a (n-(k-1)+1)=n-k+2
  • pour le k-ième, il y en a n-(k-1)=n-k+1

Il y a donc exactement n×(n-1)×...×(n-k+2)×(n-k+1) k-uplets sans répétition distincts. Or

 

 

 

 

 

et la démontration est terminée. □

 

 


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11 janvier 2014 6 11 /01 /janvier /2014 12:00

Ce billet suit :

Il est impossible d'écrire la fonction la fonction f définie par

  • f(x)=6x+4 si x≤1
  • f(x)=2x+8 si x≥1

sous la forme |ax+b|+cx+d.

 

Fonction de la forme -|ax+b|+cx+d

D'après la première propriété, si a>0 si g est définie sur R par g(x)=-|ax+b|+cx+d, alors

  • g(x)=-(-ax-b) + cx+d = (a+c)x+(b+d) si x ≤ -b/d
  • g(x)=-(ax+b)+cx+d=(-a+c)x+(d-b) si x≥-b/d

Si f(x) peut s'écrire sous cette forme, alors en trouvant a,b,c,d, a>0 tels que

  • a+c=6
  • -a+c=2
  • b+d=4
  • d-b=8

alors f pourra s'écrire sous cette forme. C'est une concession que je veux bien faire.

Trouvons donc a,b,c,d :

  1. les deux premières lignes donnent 2c=8 d'où c=4 puis a=2
  2. les deux lignes suivantes donnent 2d=12, d'où d=6 puis b=-2.

On a donc trouvé a,b,c,d avec a>0, donc f peut s'écrire

f(x)=-|2x-2|+4x+6

 

Fonctions continues affines en deux morceaux

Propriété. Si f est une fonction continue affine  en deux morceaux, alors il existe a,b,c,d, avec a>0 tels que

  • pour tout x, f(x)=|ax+b|+d, ou
  • pour tout x, f(x)=-|ax+b|+d

Lemme. Considérons deux systèmes d'équations :

 

Système 1 Système 2

a+c=m

-a+c=q

b+d=p

-b+d=r

-a+c=m

a+c=q

-b+d=p

b+d=r

 

 

Alors, les systèmes d'équation suivants ont toujours une et une seule solution.

Si m est distinct de q, une seule de ces solutions est telle que a>0.

 

Démonstration du lemme.

Je résouds les deux systèmes

 

 

Système 1 Système 2

a+c=m et

-a+c=q

donnent c=(m+q)/2 et a=(m-q)/2

b+d=p

-b+d=r

donnent d=(p+r)/2 et b=(p-r)/2

-a+c=m et

a+c=q

donnent c=(m+q)/2 et a=(q-m)/2

-b+d=p

b+d=r

donnent d=(p+r)/2 et b=(r-p)/2

 

Pour les deux système on a une solution. En particulier pour a vaut
(m-q)/2 dans le système 1 et (q-m)/2 dans le deuxième. Comme (m-q)/2 et (q-m)/2 sont des nombres opposés, si q et m sont distincts, a est bien strictement positif pour un seul des deux systèmes.


 

Démonstration de la propriété.

f est continue en deux morceaux signifie qu'il existe un réél γ (gamma) tel que

  • f(x)=mx+p si xγ , où m,p sont des réels
  • f(x)=qx+r si xγ, où q,r sont des réels

Cas 1. Si q=m, alors comme f est continue, on a mγ+p=mγ+r d'où p=r. Das ce cas, f est affine en un seul morceau : f(x)=mx+p = |0x+x|+mx+p=- |0x+x|+mx+p.

 

Cas 2. On peut utiliser le lemme. Un seul des deux systèmes a une solution pour laquelle a>0. Si c'est le système 1, alors d'après la partie précédente :


Si c'est le système 2, alors d'après la propriété 2

c'est à dire

 

 

La démonstration est finie. Elle nous permet de reformuler la propriété avec plus de précision et de concision. □

 

Propriété améliorée. Si f est une fonction continue affine en deux morceaux telle qu'il existe un réél γ (gamma) tel que

  • f(x)=mx+p si xγ , où m,p sont des réels
  • f(x)=qx+r si xγ, où q,r sont des réels

 

alors

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10 janvier 2014 5 10 /01 /janvier /2014 12:00

Mesurer l'écartement entre deux demi-droites droites

Ci-dessous deux demi-droites ayant la même origine

 

 

 

  45.png

On voudrait pouvoir mesurer leur écartement. On peut alors tracer un cercle comme ceci et mesurer la longueur de l'arc de cercle entre les deux demi-droites. Mais lequel choisir ?

 

46.png

La mesure de l'arc rose ou celle de l'arc vert ? Avec un rapporteur comme celui ci-dessous, c'est la longueur de l'arc rose que l'on va mesurer.

Goniometro

En effet, l'arc rose est plus court qu'un demi-cercle de même rayon, tandis que l'arc vert est plus grand (nécessairement) qu'un demi-cercle de mâme rayon. Le rapporteur lui a une forme de demi-disque (si on ne compte pas la partie inférieure située sous le trait horizontal).

 

D'autres rapporteurs permettent des mesures d'angles plus grands comme celui ci-dessous :

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f3/Protractor_katomierz.jpg/581px-Protractor_katomierz.jpg


Mais au fait, qu'est-ce qu'un angle ?

Angle orienté

 

Pour parler d'angle, nous devons tout d'abord parler d'orientation. Cela signifie que nous devons définir une façon de tourner qui sera la façon positive, appelé sens direct et une façon de tourner qui sera négative qui sera qualifiée de sens indirecte.

 

Orientation

 

Ce choix est arbitraire, on a décidé que le sens inverse des aiguilles d'une montre serait le sens direct. 

47-copie-1.png

48.png
Sens direct Sens indirect

 

Cercle unité

Avant de mesurer les angles, mesurons les arcs de cercle. Palçons nous dans un repère orthonormé d'origine O. Regardons le cercle unité, de rayon 1 et de centre O. 

 

La formule

Périmètre=2π × Rayon


dit que le périmètre du cercle est 2π.


La mesure d'un arc de cercle sera donc comprise entre 0 et 2π si l'on parcourt l'arc dans le sens direct, et comprise entre -2π et 0 si on le parcourt dans le sens indirect.

 

49.png

 

Sur la figure ci-dessus, l'angle en bleu est compris entre 0 et  π/2. Il est noté :

 

Quelques exemples :

51.png  52.png
50   53.png



Remarques. 

  • Si l'on dépasse un tour dans le sens direct, alors il sera supérieur à 2π, si l'on dépasse un trou dans le sens indirect, il sera inférieur à -2π. Je reviendrai sur ce sujet une autre fois.
  • Avec façon de mesurer les angles, l'unité de mesure est le radian. Les rapporteurs, en général mesurent en degrés. Cependant la conversion angles degré est facile, puisque de manière proportionnelle : π rad = 180 °


Angle orienté

Revenons à un angle entre deux demi-droites

Pour mesurer cet angle, on se place dans un repère orthonormé orienté positivement dans le sens direct. La mesure principale de l'angle


 

est définie comme la longueur de l'arc de cercle joignant B à A de centre O et de rayon 1 dans le sens direct  (O est l'origine commune des demi-droites).

 

Remarques.

  • En ajoutant 2π à cette mesure, on a la mesure de l'angle obtenu en faisant faire un tour complet à la demi-droite [OA) (dans le sens direct).
  • En ajoutant kπ à cette mesure, on a , plus généralement, la mesure de l'angle obtenu en faisant faire k tours complets à la demi-droite [OA) (k est un entier; s'il est positif, on fait k tours dans le sens direct, s'il est négatif ces tours se font dans le sens indirect) .

 

 

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9 janvier 2014 4 09 /01 /janvier /2014 00:00

Cet article fait suite à La notation Σ

 

Voici les réponses aux différents développements qu'il était proposé de réaliser :

 

Somme N°1 : S1

   

L'indice est "a" et le terme général est 

 

  Ainsi

 

 

Somme N°2 : S2

 

L'indice est α, il faut le remplacer par toutes les valeurs entières comprises entre -7 et 7, et cela donne


 

Somme N°3 : S3

Pour calculer

nous devons déjà connaître la valeur de l'indice de fin qui lui même est une somme :


 


 

Ainsi la somme cherchée est

 

Somme N°4 : S4

La somme à calculer était

 

 


Ici on remarque que le terme général est lui même une somme :

On a donc


 

avec

 

 

  36.png


 

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8 janvier 2014 3 08 /01 /janvier /2014 12:00

Ce quadrilatère possède un cerle tangeant à ses quatre côtés.

Démontrer que

JM+LK=ML+JK

 

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7 janvier 2014 2 07 /01 /janvier /2014 12:00

Ce billet fait suite à Suites arithmético-géométriques .

 

Aujourd'hui je voudrais trouver un formule permettant d'obtenir le terme d'indice n d'une suite arithmético-géométrique.

 

Soit (un) une suite arithmético-géométrique de terme initiale u0. Par définition, il existe q et r tels que pour tout entier naturel :

(1)           un+1=qun+r 

 

On suppose que q est différent de 1 (sinon la suite est simplement arithmétique).

 

Pour n>0, on a aussi :

(2)            un=qun-1+r 

 

De (1) et (2) on déduit que pour n>0, on a

 

(3)            un+1-un=q(un-un-1


Posons alors pour n supérieur ou égal à 0 : gn=un+1-un.

 

La suite (gn) ainsi formée est d'après (3) une suite géométrique de raison q. D'après Suite géométrique , on a donc pour tout n>0 :


(4)           gn=qng0

Donc un+1-un=qng0 pour tout pour n>0.

 

Ici je vais utiliser une astuce :


(un+1-un)+(un-un-1)+........+ (u2-u1)+(u1-u0) =
un+1 -un+un   -un-1+...... ..+ u2  -u1+u1 - u0 =un+1- u0

 

Ainsi


qng0+qn-1g0+.....+qg0+g0 = un+1- u0

 

Soit pour n>0, d'après Suites géométriques (somme 1)


D'où pour n>0,

Or g0=u1-u0=qu0+r-u0=(q-1)u0+r donc pour tout n>0

Pour n>1, on a donc :

 

 

Cette formule est valable aussi pour n=1 car


 

On a donc démontré la propriété suivante


 

Propriété.

 

Soit (un) une suite arithmético-géométrique de terme initiale u0. On suppose qu'il existe q et r tels que pour tout entier naturel :

un+1=qun+r 

avec q différent de 1.

 

Alors pour tout n supérieur ou égal à 1, on a

 

 


A suivre.... Suites géométrico-arithmétiques.

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6 janvier 2014 1 06 /01 /janvier /2014 12:00

Ce billet suit : Vecteurs en dimension 2

 

Ici faisons comme si l'on ne connaissait pas la définition des termes droites, segment et milieu. Sur ce site, ces termes ont déjà été utilisés, mais quels sens avaient-ils ? Pour les définir nous allons utiliser les vecteurs.

 

Vous pourriez me dire alors, que pour définir les vecteurs de R², j'ai utilisé le mot "droite" dans l'article L'ensemble R² : présentation . Ce mot droite y a été employé pour désigner les axes de R². On aurait pu ne pas utiliser ce mot car il servait uniquement à donner une présentation géométrique de R², une présentation intuitive, dont on aurait pu se passer.

 

Une définition préliminaire :

 

Définition 1. On dit que deux vecteurs

et
sont colinéaires s'il existe un nombre réel k non nul tel que

 

 

Exemple.

55.png

On a

 

 

 

 

donc

Donc

et l'on peut même dire que


(Pourquoi ?)

 

 

 

Définition 2. Considérons un point de R², A (xA,yA) et un vecteur non nul (ses coordonnées ne sont pas toutes deux égales à 0)

La droite passant par A et dirigée par ce vecteur est l'ensemble des points M tels que

On dit alors que le vecteur

est un vecteur directeur de la droite.

58

 

Si A et B sont deux points distincts, on appelle la droite (AB) la droite passant par A et dirigée par le vecteur

La droite (AB) est donc constituée des points M tels que

avec k réel quelconque.

 

 

Remarque. (AB) représente le même ensemble que (BA) (pourquoi?)


Définition 3. Si A et B sont deux points, le segment [AB] est l'ensemble des points M tels que


avec k dans l'intervalle [0;1].

 

 

56.png

 

 

 

Sur le dessin ci-dessus, en jaune le segment [AB], en jaune et noir, la droie (AB).

 


Remarque. [AB] représente le même ensemble que [BA] (pourquoi?)

 

Définition 4. On appelle le milieu de [AB] le point I tel que


Remarque : Le milieu de [AB] est bien défini car 

 


(Pourquoi ?)

 

57.png

Ci-dessus, I est le milieu de  [AB].

 


 


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5 janvier 2014 7 05 /01 /janvier /2014 12:00

Ce billet fait suite à Suites arithmético-géométriques

 

Une suite arithmético-géométrique est une suite récurente à laquelle on donne une raison géométrique puis une raison arithmétique. Je rappelle la définition :

 

Définition 1. Une suite arithmético-géométrique est une suite (hn) définie pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1 par

(ag)                                      hn=qhn-1+r

où q et r et h0 sont des réels.

 

On peut de même imaginer la définition dune suite géométrico-arithmétique :
une suite récurente à laquelle on donne une raison arithmétique puis une raison géométrique.

 

Suite géométrico-arithmétique

 

Définition 2. Une suite géométrico-arithmétique est une suite (vn) définie pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1 par

(ga)                                      vn=q(hn-1+r)

où q et r et v0 sont des réels.

 

On a donc vn=q(hn-1+r)=qhn-1+qr=qhn-1+q', où q'=qr. Ceci montre qu'une suite géométrico-arithmétique est une suite arithmético-géométrique. 

 

Suite arithmético-arithmétique

 

De même, voyons ce que peuvent être les suites arithmético-arithmétiques et les suites géométrico-géométriques.

 

Définition 3. Une suite arithmético-arithmétique est une suite (bn) définie pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1 par

 

(aa)                                      bn=(bn-1+r) + s

où r et s et b0 sont des réels.

 

 

Définition 4. Une suite géométrico-géométrique est une suite (fn) définie pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1 par

 

(gg)                                      fn=p(qfn-1)  

où q et p et f0 sont des réels.

 

On a bn=bn-1+(r + s) et fn=(pq)fn-1   donc  une suite arithmético-arithmétique est une suite arithmétique et une suite géométrico-géométrique est une suite
géométrique.

 

On peut faire pire

 

Définition 5.
Une suite géométrico-(géométrico-arithmétique) est une suite (vn) définie pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1 par

(g(ga))                                      vn=p(q(hn-1+r))

où q et r et v0 sont des réels.

 

On voit sans problème que c'est une suite géométrico-arithmétique.

 

........ etc.....

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  • : Au départ, j'ai créé ce blog pour y publier des articles reliant Maths et histoire de l'art et la culture. Maintenant, il me permet d'aborder des sujets simples de la culture mathématique. J'aime parler de jeux vidéos. Vous trouverez aussi sur ce site des fiches de maths et Histoire des Arts de 2009-2010 au format *.pdf. Je ne sais pas où me mène ce blog donc il ne sera sans doute plus le même si je continue à l'alimenter dans un an. N'hésitez pas à laisser des commentaires.
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